必修5第一章解三角形校本作业：解三角形的实际应用问题（教师版）

厦门海沧实验中学数学必修5校本作业

第一章 解三角形 1.2 解三角形实际应用问题

日期_________班级_________ 姓名__________

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：

类型 简图 计算方法 测得AC＝b，BC＝a，角C的度A，B间不可达也不可视 数，则由余弦定理得AB＝ a2＋b2－2abcos C 测得BC＝a，角B，C的度数，B，C与点A可视但不可达 则A＝π－(B＋C)，由正弦定理 得AB＝asin Csin（B＋C） 测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在C，D与点A，B均可视不可达 △ACD中，用正弦定理求AC； 在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB 2．测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：

类型 简图 计算方法 底部 测得BC＝a，∠C的度数，可达 AB＝a·tan C 测得CD＝a及C与∠ADB的点B 度数． 与C， 先由正弦定理求出AC或AD，底部D共线 再解直角三角形得AB的值 不可达 点B 测得CD＝a及∠BCD，∠与C， BDC，∠ACB的度数． D不 在△BCD中由正弦定理求得共线 BC，再解直角三角形得AB

1

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的值

基础巩固

1. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点间的距离为( )

A．502 m C．252 m

B．503 m 252D. m

2

ABAC

解析：选A.由正弦定理得＝.又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，

sin ∠ACBsin ∠CBA250×

2AC·sin∠ACB

故AB＝＝＝502 (m)．

1sin∠CBA

2

2．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为( )

A．202 m C．203 m

B．302 m D．303 m

AC·sin∠BAC60sin 30°

解析：选B.由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝302 m，

sin∠Bsin 45°故选B.

3．如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

A．102 海里 C．203 海里

B．103 海里 D．202 海里

解析：选A.由题目条件，知AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°.由正弦

2

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20BC

定理，得＝，所以BC＝102海里，故选A.

sin 45°sin 30°

4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是( )

A．52 海里/时 C．102 海里/时

B．5海里/时 D．10海里/时

解析：选D.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA

＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5海里，于是这艘船的速度是10海里/时．故选D.

5.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )

A．(30＋303) m C．(15＋303) m

B．(30＋153) m D．(15＋33) m

60PB

解析：选A.由正弦定理可得＝，

sin（45°－30°）sin 30°

160×

230

则PB＝＝(m)，设树的高度为h，则h＝PBsin 45°＝(30＋303) m.

sin 15°sin 15°

6. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：

①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B. 则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为( ) A．①②③ C．①③④

B．②③④ D．①②③④

b

解析：选A.对于①，在△ABC中，B＝π－(A＋C)，所以sin B＝sin(A＋C)．由正弦定理得

sin（A＋C）＝

cbsin C，所以c＝.对于②，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以c＝a2＋b2－2abcos C.sin Csin（A＋C）

ac对于③，在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin (A＋B)．由正弦定理得＝，所以c

sin Asin（A＋B）asin（A＋B）a2＋c2－b2＝.对于④，由余弦定理cos B＝解得的c可能有两个值．故能确定A，B间距离的所

sin A2ac有方案的序号为①②③.

3

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7.海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是________．

【解析】 如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°， BCAB

由正弦定理，可得＝，

sin 60°sin 45°所以BC＝

3

×10＝56(海里)． 2

【答案】 56 海里

8. 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，则其跨度AB的长为________m.

解析：由题意知，∠A＝∠B＝30°， 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°， ABAC由正弦定理得＝，

sin Csin B

AC·sin C4·sin 120°

即AB＝＝＝43(m)．

sin Bsin 30°答案：43

9. 如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝22 mm，AB＝29 mm，则∠ACB＝________．

解析：在△ABC中，由余弦定理得

32＋（22）2－（29）22

cos∠ACB＝＝－.

22×3×223π

因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.

43π答案：

4

10．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________m.

解析：设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3 h，根据余弦定理，得(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50 m.

答案：50

11．如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离．

∠A＝30°，

4

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解：由已知，得CD＝21 km，BC＝31 km，BD＝20 km.

CD2＋BD2－BC21

在△BCD中，由余弦定理，得cos ∠BDC＝＝－.

72CD·BD143设∠ADC＝α，则cos α＝，sin α＝.

77ADCD

在△ACD中，由正弦定理＝，

sin ∠ACDsin ∠CAD得

AD21

＝，

sin（60°＋α）sin 60°

424231

sin(60°＋α)＝?cos α＋sin α?＝15 (km)，

2?33?2

所以AD＝

即所求的距离为15 km.

12．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度．

解：如图，设CD＝x，

在Rt△ACD中，∠DAC＝45°， 所以AC＝CD＝x.

在Rt△BCD中，∠CBD＝30°， CD

所以CB＝＝3x.

tan 30°

在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°， 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB， 所以2662＝x2＋(3x)2－2·x·3x·?－

?

3?， 2?所以x＝387(m)． 所以气球的高度为387 m.

能力提升

13．如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．

5

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解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，

因为∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcos 120°＝4003.在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，所以AC＝40013，故索道AC的长为40013米．

答案：40013

14. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚2

s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的17

垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)

解：由题意，设AC＝x m， 2

则BC＝x－×340＝x－40 (m)．

17在△ABC中，由余弦定理得

BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.

在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°. CHAC由正弦定理得＝，

sin∠CAHsin∠AHCsin∠CAH

所以CH＝AC·＝1406(m)．

sin∠AHC故该仪器的垂直弹射高度CH为1406 m.

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