10高等流体力学练习题

高等流体力学练习题

第一章 场论基本知识 第一节 场的定义及其几何表达

1、（RX21）设点电荷q位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所

?q?r，其中ε为介质系数，产生的电场强度，由电学知为：E?34??r?????r?xi?yj?zk为M点的矢径，r?r。求电场强度的矢量线。

????222、（RX22）求矢量场A?xzi?yzj?(x?y)k，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。

?r1、（RX32）设r?x2?y2?z2为点M(x, y, z)的矢径的模，试证明：gradr?。

r????23

2、（RX33）求数量场u=xy+yz在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量l?2i?2j?k第二节 梯度

方向的方向导数。

3、（RX34）设位于坐标原点的点电荷q，由电学知，在其周围空间的任一点

???q?M(x, y, z)处所产生的电位为：v?，其中ε为介质系数，r?xi?yj?zk4??r?为M点的矢径，r?r。求电位v的梯度。

????4、（BW7）试证明d??dr?grad?，并证明，若d??dr?a，则a必为grad?。 ??5、（BW8）若a＝grad?，且?是矢径r的单值函数，证明沿任一封闭曲线L

???的线积分?a?dr?0，并证明，若矢量a沿任一封闭曲线L的线积分

L?L???a?dr?0，则矢量a必为某一标量函数?的梯度。

第三节 矢量的散度 ????1、 （RX39）设由矢径r?xi?yj?zk构成的矢量场中，有一由圆锥面x2+y2=z2及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S。试求矢量场从S内穿出S的通量。 2、 （RX41）在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为

?q???rD?r，其中，为从点电荷q指向M点的矢径，。设S为以点r?r4?r3电荷为中心，R为半径的球面，求从内穿出S的电通量。

1

??3、 （RX44）若在矢量场A内某些点（或区域）上有divA?0，而在其他点上都

?有divA?0，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。

?4、 （RX44）在点电荷q所产生的电场中，求电位移矢量D?q?r在任何一点4?r3M处的散度。

?5、 （RX46）已知??exyz，求div(?r)

第四节 矢量的旋度 ???1、（RX51）设有平面矢量场A??yi?xj，l为场中的星形线x=Rcos3θ，y=Rsin3θ。求此矢量场沿l正向的环量。

??2?2y?222、（RX55）求A?xyzi?zsinyj?xek的旋度。

???3、（RX57）设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为???1i??2j??3k。

?由运动学我们知道，刚体上某一点处的线速度为

??????v???r?(?2z??3y)i?(?3x??1z)j?(?1y??2x)k，求此线速度场的旋度。

??4、（BW18）证明rotgrad?=0，并证明，若rota＝0，则a必为grad?。

第五节 哈密尔顿算子

?1、（RX80）已知u=3xsinyz，求??(ur)

????3242、（RX80）设A?xzi?2xyzj?2yzk，求该矢量在点M(1, 2, 1)处的旋度。

??????(a?r)?dl?2a?dSa3、（RX80）证明?，其中为常矢。 ???lS

第六节 场论基本运算公式（见P6～7）

1、（BW19）证明场论各基本运算公式。

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第二章 张量基本知识 第一节 指标

1、 什么是自由指标和哑指标？ 2、 试简述约定求和法则。

第二节 张量及其表示法

1、 试简述二价张量的定义。

2、 什么是零阶张量？它有几个分量？

?x?3、 试写出[A]??xy2?zx?

xy2zyyzx??x2y3?的实体表示形式。 yz??第三节 几个特殊的张量

1、 试写出单位张量的分量表示形式

2、 （BW63）试证明二价张量可以唯一的分解为一个对称张量和一个反对称张

量之和。

第四节 二阶张量的运算 ??1、 证明[A]?[B]?aijbjneien

??[B]?[B]?a 2、 证明当［B］为对称张量时，则a???3、 证明[I]?a?a

?04、 若将反对称张量［B］写成：[B]????3????2??30?1?2??????1?[B]?a???a ，证明?0??5、 证明[I]:[B]?bii 6、 证明??p?????p

7、 证明???p?A????p??A??p???A?

?T??T??V????V?V?V8、 证明??，其中为的转置张量。 ?????????9、 证明????P??V?????P??V??P?:?V

第五节 各向同性张量

1、 什么是各向同性张量？

2、 证明二阶各向同性张量的形式必为??ij，?为标量。

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第三章 流体力学的基本概念 第一节 流体力学的基本研究方法

1、试简述流体质点的概念和连续性假设。 2、试分别简述描述流体流动的两种方法。

第二节 流体微团的运动分析

1、（LJ50）设初始时刻流体质点的速度与它到某—固定界面的距离x。间的关系为：u=kx0/(x0+1)。k为常数，此后流体质点各自都作等速直线运动。速度方向与该固定截面垂直。 (1)求速度场；

(2)求变形速度张量；

2、试简述亥姆霍兹速度分解定理。

3、（QZC31）给定平面流场的极坐标表达式：vr=u(r, θ)，vθ=v(r, θ)，求流动平面上径向和周向的线变形率，以及平面上的角变形率。

4、（GZ54）设u=cy，v=0，w=0，求其变形张量和旋转张量。

第三节 作用在流体上的表面力

?1、试表述[P]?n所表达的意义。

2、试证明应力张量的对称性。

3、（GZ61）设流体中的应力张量由下式给出

00??p??gz??，设有一平行于坐标轴的六面体，求[P]??0?p??gz0???00?p??gz???（1）六面体六个面上的应力分布；（2）求作用于z=0及x=0面上的合力。

?012??，试问作用于平面1204、（GZ62）流体内某处的应力张量为[P]??????201??x+3y+z=1外侧（离开原点的一侧）上的应力矢量是什么？这个平面上的应力

向量的法向和切向分量是什么？

第四节 随体导数

1、（FY24）已知用拉格朗日变数表示的速度场为： u=(a+1)et-1 v=(b+1)et-1

式中：a,b是t=0时刻流体质点的直角坐标值。 试求：（1）t=2时刻流场中质点的分布规律； （2）a=1,b=2这个质点的运动规律； （3）流体质点的加速度场表达式。

（4）欧拉变数下的速度和加速度表达式。 2、（QP44）已知用欧拉变数表示的速度场为：

4

u=x+t v=y+t

试求：（1）一般的迹线方程，令t=0时的坐标为a,b。 （2）在t=1时刻过（1，2）点的质点的迹线。 （3）在t=1时刻过（1，2）点的流线。 （4）以拉格朗日变数表示的速度分布。

??D???3、证明?d????????V?d?

??tDt??????

第五节 广义牛顿内摩擦定律

1、试简述斯托克斯所提出的三个假设。 2、试写出张量形式的应力本构方程。

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