时间序列分析的基本概念 (2)

则变换的Jacobi行列式值为

J?1?111?1=

1 2因而积分区域变换为顶点分别在?轴和?轴上的菱形区域：?2T?????2T。由于

?(?)是偶函数，故(2.13)式等于

12T2T???(?)d???d? ??2T(2T??)2T??8Tlim?lim?lim12T??(?)(2T??)d? T??4T2?2T12T??(?)(2T??)d? T??2T2012T??(?)(1?)d? (2.14) ?T??T02T?lim故关于均值的遍历性定理就化为上式极限是否趋于零的问题。于是由均方收敛的定义知这确实是等价的，定理结论得证。

推论2.1 若???r(t)dt??，则均值遍历性定理成立。

证明：当0?t?2T时，(1?t/2T)r(t)?r(t) (2.15)

?12Tt12T(1?)r(t)dt???r(t)dt T0TT0 ?1??r(t)dt T0 ?0 (2.16) 对于平稳过程的协方差函数的遍历性定理，可以考虑随机过程

Y??{Y?(t),???t??}，其中

Y?(t)?(X(t??)??)(X(t)??)

则EY?(t)?r(?)。由定理的证明过程可见，均值具有遍历性等价于var(X)?0。因此可以类推协方差函数具有遍历性等价于var(r(?))?0。于是有以下定理：

定理2.1.3 （协方差函数遍历性定理）

设X?{Xt,???t??}是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充分必要条件是

12T?1(1?)(B(?1)?r2(0))d?1?0 (2.17) ?0T??T2Tlim

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其中

B(?1)?EX(t????1)X(t??1)X(t??)X(t) (2.18)

在实际问题中，要严格验证平稳过程是否满足遍历性的条件是比较困难的。遍历性定理的重要意义在于从理论上给出如下结论：一个实平稳过程，如果它是遍历的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均。

在时间序列分析中，还会经常遇到白噪声过程，定义如下：

定义2.9如果随机过程X(t)(t?1,2,?)是由一个不相关的随机变量序列构成，即对于所有s?t，随机变量Xt和Xs的协方差均为零，即随机变量Xt和Xs互不相关，则称其为纯随机过程。对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差都为常数，则称其为白噪声过程。白噪声过程的样本实现称为白噪声序列（White noise）。

特别地，对于白噪声序列??t?，如果对于任意的s,t，

E?t??,则称??t?是一个白噪声序列，记为?t

??2cov??t,?s????0WN??,?2?。

s?t s?t (2.19)

当??t?独立时，称??t?是一个独立的白噪声序列。

对于一个独立的白噪声序列，当?t服从正态分布时，称??t?是一个正态白噪声序列。

下面是随机产生的1000个服从标准正态分布的白噪声序列绘制的序列图，见图2.1。

图2.1 标准正态白噪声序列

§2.3 线性差分方程

2.3.1一阶差分方程

假定当前时期t期的y（输出变量）和另一个变量?（输入变量）、及前一期的y之间存在如下动态方程：

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yt??yt?1?? (2.20)

则此方程称为一阶线性差分方程，这里假定?为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。 （1）用递归替代法解差分方程

根据方程（2.20），如果我们知道t??1期的初始值动态系统得到任何一个时期的值，即

y?1和?的各期值，则可以通过

yt??t?1y?1??t?0??t?1?1????t (2.21)

这个过程称为差分方程的递归解法。 （2）动态乘子：

对于方程（2.21），如果?0随y?1变动，而w1,w2,?,wt都与y?1无关，则?0对yt的影响为：

?y?yt??t或t?j??j (2.22) ??0??t方程（2.22）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂时性影响）。动态乘子依赖于j，即 输入?t的扰动和输出yt?j的观察值之间的时间间隔。

对于方程（2.20），当0???1时，动态乘子按几何方式衰减到零；当?1???0，动态乘子振荡衰减到零；??1，动态乘子指数增加；????1，动态乘子发散性振荡。因此，??1，动态系统稳定，即给定?t的变化的后果将逐渐消失。??1，系统发散。

当??1时，此时yt?y?1??0??1????t，即输出变量的增量是所有输入?的历 史值之和。

如果?产生持久性变化，即?t,?t?1,?,?t?j都增加一个单位，此时持久性影响为：

?yt?j??t??yt?j??t?1????yt?j??t?j??j??j?1?????1 (2.23)

当??1时，且j??时，持久性影响为

??yt?j?yt?j?yt?j?1lim??????1??????j?1??j??? (2.24) ?j??????t?j?1????t??t?1?如果考察?t的一个暂时性变化对输出y的累积性影响，则和长期影响一致。 2.3.2 p阶差分方程

如果动态系统中的输出yt依赖于它的p期滞后值以及输入变量?t:

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yt??1yt?1??2yt?2????pyt?p??t??????????????????????????????????????(2.25)

此时可以写成向量的形式，定义

?yt???1?2?y??10t?1????t??yt?2?, F??01??????????yt?p?1???00??从而（2.25）写成向量形式：

??p?1?p???t??0??00?????00?, vt??0?

???????????010???0??????????????????????????????????????????????????????t?F?t?1?vt???????????????????????????????????????????????????????????(2.26)

这个系统由p个方程组成，为了便于处理，将p阶数量系统变成一阶向量系统。

0期的?值为： ?0?F??1?v0

21期的?值为： ?1?F?0?v1?F(F??1?v0)?v1?F??1?Fv0?v1 t?1tt?1t?2t期的?值为： ?t?F??1?Fv0?Fv1?Fv2??Fvt?1?vt

写成?和v的形式为：

?yt??y?1???0???1???t?1???t??y??y??0??0??0??0?t?1?2????????????t?1tt?11?yt?2??F?y?3??F?0??F?0????F?0???0? (2.27) ???????????????????????????????yt?p?1??y?p?????0???0???0????0??????该系统中的第一个方程代表了yt的值。令

(t)f12(t)tf11表示F中第（1, 1）个元素，

表示F中第（1, 2）个元素等等。于是yt的值为：

(j?1)(j?1)(j?1)yt?j?f11yt?1?f12yt?2?f13yt?3???f1(pj?1)yt?p

(j)(j?1)(1)?f11?t?f11?t?1???f11?t?j?1??t?j (2.28)

t表示成初始值和输入变量历史值的函数，此时p 阶差分方程的动态乘子：

?yt?j??tj(j) (2.29) ?f11是F的(1,1)元素。因此对于任何一个p阶差分方程，

?yt?1?y2??1,t?2??1??2 (2.30) ??t??t对于更大j值，通过分析表达式（2.28）就非常有用。通过矩阵F的特征根进行求解。

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矩阵F的特征根为满足下式的?值：

F??Ip?0 (2.31)

对于一个p阶系统，行列式（2.31）为特征根?的p阶多项式，多项式的p个解是F 的p个特征根。

定理2.4 矩阵F的特征根由满足下式的?值组成：

?p??1?p?1??2?p?2????p?1???p?0 (2.32)

证明：考虑具有相异特征根的p阶差分方程的通解，此时存在一个p?p阶非奇异矩阵T，满足：

F?T?T?1

F2?T?T?1T?T?1?T?2T?1

?

Fj?T?jT?1 (2.33)

其中?是一个

p?p矩阵，主对角线由F的特征根组成，其它元素为零。令tij表示T

ij的第i行、第j列的元素，t表示T?1的第i行、第j列的元素。则有：

?t11t12?tt2221j?F??????tp1tp2?j?t1p???1j??t2p???0????????tpp????00?2j?00??t11t12??0??t21t22???????jp1p20??ptt????0?0????t1p???t2p? (2.34) ?????tpp??因此F的第（1, 1）个元素为：

(j)jj (2.35) f11?c1?1j?c2?2???cp?pi1?1其中ci?t1it。因为?ci??t1it?TT?1。将（2.35）代入（2.29），得到p阶差分方

i?1i?1i1pp程的动态乘子：

?yt?j??t(j)jj (2.36) ?f11?c1?1j?c2?2???cp?p定理2.5 如果矩阵F特征值是相异的，则

ci??ip?1?(?i??k)k?1k?ip (2.37)

因此求出F的特征值?，就可以求出相应的ci，由此就可以根据（2.36）计算得到动态乘子。

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