10-11(1)概率统计期中试卷答案 

2010-2011(1)概率统计期中试卷

专业班级 姓名 得分

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1.设A、B是相互独立的事件，且P(A?B)?0.7,P(A)?0.4,

则P(B)? ( Ａ ) A. 0.5 B. 0.3

C. 0.75 D. 0.42

2、设X是一个离散型随机变量，则下列可以成为X的分布律的是

（ Ｄ ）.

A.

?1??p??1?p?0(p为任意实数) B.

?3n?x1??0.1x20.3x30.3x40.2nx5?? 0.2? C. P(X?n)?e3n!(n?1,2,...) D. P(X?n)?e3n!?3(n?0,1,2,...)

3．下列命题不正确的是 （ D ） （A）设X的密度为f(x)，则一定有?????f(x)dx?1；

（B）设X为连续型随机变量，则P（X=任一确定值）=0； （C）随机变量X的分布函数F(x)必有 0?F(x)?1； （D）随机变量X的分布函数是事件“X=x”的概率；

4．若E(XY)?E(X)E(Y),则下列命题不正确的是 （ B ） （A）Cov(X,Y)?0； （B）X与Y相互独立 ； （C）?XY?0； （D）D(X?Y)?D(X?Y)；

5. 已知两随机变量X与Y有关系Y?0.8X?0.7，则X与Y间的相关系数

为 （ B ） （A）－1 （ B）1 （C）-0.8 （D）0.7 6．设X与Y相互独立且都服从标准正态分布, 则

（ B ） （A）P(X?Y?0)?0.25 （B）P(min(X,Y)?0)?0.25； （C）P(X?Y?0)?0.25； （D）P(max(X,Y)?0)?0.25；

1

7. 设随机变量X服从正态分布N(2,?2)，其分布函数为F?x?，则对任意实数x，有（ B ） （A）F?x??F??x??1 （B）F(2?x)?F(2?x)?1 （C）F(x?2)?F(x?2)?1 （D）F(2?x)?F(x?2)?1

8．设(X,Y)的联合分布律如下，且已知随机事件（X?0）与（X?Y?1）相互独立， 则a,b的值为 ( A )

Ｙ Ｘ 0 1 0 0.4 b 1 a 0.1 (A) a?0.4,b?0.1,(B) a?0.2,b?0.3,(C) a?0.1,b?0.4,(D) a?0.3,b?0.2 9.设袋中有编号为1，2，?，n的n张卡片，采用有放回地随机抽取k（k?n)张卡片， 记X表示k张卡片的号码之和，则E(X) 为 （ A ）

k(n?1)2n?12n(k?1)2n(k?1)2(A) (B) (C) (D)

10.设X~?(?)且E(X-1)(X-2)?1，则?= （ C ） （A）3； （B）4 ； （C）1； （D）2；

二、填充题（每格2分，共32分）

1、已知P（A）=P（B）=P（C）=0.25，P（AC）=0，P（AB）=P（BC）=0.15，则A、B、C中至少有一个发生的概率为 0.45 。 2、A、B互斥且A=B，则P（A）= 0 。

3、设A、B为二事件，P(A)=0.8,P（B）=0.7，P（A∣B）=0.6，则P（A∪B）= 0.88 。

?1e?14x,x?0?4、设X、Y相互独立，X~U(0,3),Y的概率密度为f(x)??4

?,其它?0，则E(2X?5Y?3)? -14 ，D(2X?3Y?4)? 147 。 5、设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的 概率为 0.875

6、已知E(X)=3，D(X)?2，由切比雪夫不等式估计概率

2

P(X?3?4)? 0.125 。

7、设X?B(100,0.2)，则概率P(X?20?4)≈ 0.68 （?(1)?0.84)。

?0,?8.设X的分布函数F(x)??11?,?2x?x?1x?1，则E(X)? 2 9.已知随机变量X~N(?,?2)，且P(X?2)?0.5,P(X?5)??(?1)，则?? 2 ，?2? 9 。

10．设X与Y相互独立，X～N(?,?2)2，Y在?0,4?上服从均匀分布，则X与Y的联合

(x??)??12e2?,???x???,0?y?4?概率密度为f(x,y)??4?2?。

?,其它?011．把9本书任意地放在书架上，其中指定3本书放在一起的概率为 112

12. 已知P(A)?0.6，P(B)?0.8，则P(AB)的最大值为 0.6 ，最小值为 0.4 。

13.已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(AB)?0.2，则P(AB)＝ 0.3 。

三、(4分)一袋中有4个白球，4个红球，2个黑球，现作有放回抽取3次，每次从中取一个，求下列事件的概率。

（1）第三次才取到白球 （2）3个颜色不全相同

解:设Ａ为“第三次才取到白球”的事件；Ｂ为“3个颜色不全相同”的事件 (1)P(A)?64???0.144 1010103336（2）P(B)?1?(0.4?0.4?0.2)?0.864

四、（6分）设X的概率密度为

3

?0.2,?x0? f(x)???0.4?,x?4 6??0,其它又知P(X?k)?0.8，求（１）k的取值范围，（2）X的分布函数F(x) 解：（１）显然

P(X?4)??640.4dx?0.8,

P(X?1)??410dx??640.4dx?0.8故满足P(X?k)?0.8的k的取值范围是?1,4?

（２）

?0,x?0??0.2x,0?x?1X的分布函数F(x)＝??0.2,1?x?4 ??0.4x?1.4,4?x?6??1,x?6五、（9分）设连续型承机变量X的分布函数为 ?a,x?1 F(x)???bxlnx?cx?d,1?x?e ??d,x?e求（1）常数a,b,c,d；（2）密度函数

f(x)；

（３）E(X) 解：（１）由F(??)?0?a?0,F(??)?1?d?1

再由F(x)在x?1、e处的连续性知b?1,c??1

?lnx,1?x?e（2）密度f(x)???0,其它

??22（３）E(X)=??1-?xf(x)dx??e1xlnxdx??e1lnxdx2?e4

六、(13分) 设离散型随机变量X具有分布律

X ?1 0 1 2

p2k 0.25 2a a?0.8a 0.15

(1) 求常数a；（2）求X的分布函数F(x)（3）计算P(X?32),

4

(4) 求Y?6?X2的分布律；（5）计算D(X).

解：(1)由?Pk?1?a?0.2,a??3(舍去）

k?0，x??1??0.25,?1?x?0?(２) X的分布函数F(x)＝?0.65,0?x?1?

?0.85,1?x?2??1,x?23(3) P(X?2)?F(32)?0.85

(４) Y?6?X2的分布律为

Y 2 5 6

pk 0.15 0.45 0.4

E(X)?0.25,E(X2)?1.05,（5）D(X)?E(X2)?(EX)2?0.9875

七．（10分）设(X,Y)的联合密度函数

f(x,y)????kxy2,0?x?y?1 ??0,其它

(1) 求常数k; （2）求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？说明理由。 解：(1)

??f(x,y)?1?k?8

R?R 5

fX(x)?（2 X的边缘密度函数

??????18xy2dy,0?x?1??2f(x,y)dy??x?其它?0,

?87?(x?x),0?x?1＝?3?0,其它?3?y2??8xydx,0?y?1?4y,0?y?1f(y)??0＝?Y的边缘密度函数Y

0,其它??其它?0,(３)由于f(x,y)?fX(x)fY(y)

故Ｘ与Ｙ不相互独立

八．（6分）设X与Y相互独立，其中X的分布律如下求

X 2 p ，而Y的概率密度fY(y)为已知，

3 0．2 0．8 U?XY的概率密度g(u).

FU(u)?P(XY?u)?P(X?2)P(XY?uX?2)?P(X?3)P(XY?uX?3)?0.2P(Y?u)?0.8P(Y?u)?0.2FY(u)?0.8FY(u)2323

fU(u)?FU?(u)?0.2fY(u?0.1fY(u

23).1)2?0.8fY(u3).132)?0.83fY(u 6

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