浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 abc＝＝＝2R(R为△ABCsin Asin Bsin C内容 外接圆半径) a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； absin A＝，sin B＝， 2R2Rc变形形式 sin C＝； 2Ra∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； a＋b＋ca＝. sin A＋sin B＋sin Csin A2.正弦定理解决的问题有哪两类？ 提示：(1)已知两角和任一边，求其他边和角； (2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角． 3．余弦定理解决的问题有哪三类？ 提示：(1)已知三边，求各角；
余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C． b2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2caa2＋b2－c2cos C＝. 2ab(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边． 温馨提示：解斜三角形的类型：
(1)已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．
(2)已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在△ABC中，已知a、b和角A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角 图形 关系式 解个数 a＝bsin A 一解 bsin A＜a＜b 两解 a≥b 一解 a＞b 一解 上表中A为锐角时，a＜bsin A时，无解；A为钝角时，a＝b，a＜b均无解． (3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．
4．三角形面积
设△ABC的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S.
1
(1)S＝ah(h为BC边上的高)；
21
(2)S＝absin C.
2
1
1．(2013·高考北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
3
15A. B. 595C. D．1 3
ab
解析：选B.在△ABC中，由正弦定理＝，
sin Asin B
15×35bsin A
得sin B＝＝＝.
a39
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( ) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 解析：选B.∵bsin A＝122＜a＜b. ∴三角形的个数有两个．
13．(2014·兰州调研)在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝，则△ABC的面积为( )
3
A．33 B．23 C．43 D.3
122
解析：选C.∵cos C＝，∴sin C＝，
33
1122∴S△ABC＝absin C＝×32×23×＝43. 223
4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________． 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos 60°＝ac， 即a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c.
又B＝60°，∴△ABC为等边三角形． 答案：等边三角形 5．(2013·高考安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
解析：由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
57
所以a＝b，c＝b，
33
52272
222?b?＋b－?b?a＋b－c33
所以cos C＝＝ 2ab5
2×b×b3
1＝－. 2
2π
因为C∈(0，π)，所以C＝.
3
2π答案： 3
利用正、余弦定理解三角形
(2013·高考山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c
7
＝6，b＝2，cos B＝.
9
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
[解] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，
7
又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，
9所以ac＝9，解得a＝3，c＝3. (2)在△ABC中，sin B＝
1－cos2B＝
42
， 9
asin B22
由正弦定理得sin A＝＝.
b3因为a＝c，所以A为锐角． 1
所以cos A＝1－sin2A＝.
3
102
因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.
27
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两
个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
1．(2012·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
ab
解：(1)由bsin A＝3acos B及正弦定理＝，
sin Asin B
得sin B＝3cos B.
π
所以tan B＝3，所以B＝.
3ac
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
sin Asin C由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 所以a＝3，c＝23.
利用正、余弦定理判定三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋
(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
[解] (1)由已知，
根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc.①
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
1
故cos A＝－，A＝120°.
2(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
1
又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.
2因为0° 判断三角形的形状，主要有如下两种途径： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． Ac－b2．(1)在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状 22c 为________； (2)在△ABC中，若b＝asin C，c＝acos B，则△ABC的形状为________． c－b 解析：(1)∵sin＝， 22c 2A 1－cos Ac－bb ∴＝，∴cos A＝. 22cc 222 bb＋c－a 由余弦定理＝， c2bc ∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形． a2＋c2－b2bsin B (2)由b＝asin C可知＝sin C＝，由c＝acos B可知c＝a·，整理得b2＋c2 asin A2ac＝a2，即三角形一定是直角三角形，A＝90°，∴sin C＝sin B，∴B＝C， 故△ABC为等腰直角三角形． 答案：(1)直角三角形 (2)等腰直角三角形 与三角形面积有关的问题 (2013·高考湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是 a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值． [解] (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得 2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0. 1 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)． 2 π 因为0 3 1133 (2)由S＝bcsin A＝bc·＝bc＝53，得bc＝20. 2224又b＝5，所以c＝4. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，所以a＝21. bc 从而由正弦定理得sin Bsin C＝sin A·sin A aa bc2035＝2sin2A＝×＝. a2147 三角形面积公式的应用原则 111 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个 222公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． CA3 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2 ＋ccos2 ＝b. 222 (1)求证：a，b，c成等差数列； (2)若B＝60°，b＝4，求△ABC的面积． 1＋cos C1＋cos A3解：(1)证明：acos＋ccos＝a·＋c·＝b，则a(1＋cos C)＋c(1＋cos 22222 2C 2A A)＝3b. 由正弦定理，得 sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B， 即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B， ∴sin A＋sin C＝2sin B. 由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列． (2)由B＝60°，b＝4及余弦定理， 得42＝a2＋c2－2accos 60°. ∴(a＋c)2－3ac＝16， 又由(1)知a＋c＝2b， 代入上式得4b2－3ac＝16， 解得ac＝16， 11 ∴△ABC的面积S＝acsin B＝acsin 60°＝43. 22 搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新医药卫生高三数学第一轮复习讲解-正弦定理和余弦定理 全文阅读和word下载服务。
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