江苏省南通市教研室2012年高考全真模拟试卷三（数学）

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三

试题Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上. ．．

1． 已知向量a?(1，2)，b?(?3，2)，则a?(a?b)= ▲ ． 2． 若直线y??x?b为函数y?1的一条切线，则实数b? ▲ ．

x3． 若使“x≥ ． 1”与“x≥a”恰有一个成立的x的取值范围为?x0≤x?1?，则实数a的值是 ▲4． 已知点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的

长度大于1的概率为 ▲ ．

5． 给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频

率分布直方图，其中?64.5，这组所对应的矩形的高为 ▲ ． 66.5）6． 已知π≤?≤π，且sin??π?1，则cos?? ▲ ．

2627． 某圆锥的侧面展开图是半径为1cm的半圆，则该圆锥的体积是 ▲ cm3． 8． 对于定义在R上的函数f(x)，下列正确的命题的序号是 ▲ ．

①若f(2)?f(1)，则f(x)是R上的单调增函数；②若f(2)?f(1)，则f(x)不是R上的单调减

函数；

0?、?0，???上都是单调增函数，则f(x)一定是R上的单调增函数． ③若f(x)在区间???，??9． 给出下列等式：

πs， 2?2co42?π，2?2cos 82?2?2?2cosπ， ……

16请从中归纳出第nn?N*个等式：2????2?2? ▲ ．

n个2??t?[0，??)，设??100π，A?5，则10．已知电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I?Asin?t，电流

) I(A首次达到峰值时 ． t的值为 ▲B(?2， 0)，C(1， 0)， 2)，11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，分别以△ABC的边AB、AC向

外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为 ▲ ．

y F

H

A

E

12．设x、y?(?2，2)，且xy??1，则函数

4?9的最小值为 ▲ ． 224?x9?y2y2x13．已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆??1的公共点都各只169有一个，那么该定圆的方程为 ▲ ．

14．已知?为非零常数，数列?an?与?2an???均为等比数列，且a2012?3，则a1? ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．明、证

明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）

已知sin??sin??1, cos??cos??3．

（1）求cos?????的值； （2）求cos?????的值．

16．（本题满分14分）

如图，在正四棱锥P?ABCD中，点M为棱AB的 中点，点N为棱PC上的点.

（1）若PN?NC，求证：MN//平面PAD； （2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假.

若为真，请证明；若为假，请举反例.

P N D A Q M （第16题）

B C

17．（本题满分15分）

b) (ab?0)，点B为直线l：y?bx与抛物线C：在平面直角坐标系xOy中，设点A(a，x2?1y异于原点的另一交点．

ab（1）若a?1，b?2，求点B的坐标；

2x（2）若点A在椭圆?y2?1上，求证：点B落在双曲线4x2?4y2?1上； 4（3）若点B始终落在曲线y2?2c(x?d)（其中c、d为常数，且c?0）上，问动点A的轨迹落

在哪种二次曲线上？并说明理由．

18．（本题满分15分）

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一

层EFGH?E1FGx． 11H1转动?，如图乙，设?E的对边长为F E1 F1

（1）试用?表示x；

（2）求魔方增加的表面积的最大值．

19．（本题满分16分）

设各项均为非负数的数列{an}的为前n项和Sn??nan（a1?a2，??R）． （1）求实数?的值；

a2表示）． （2）求数列{an}的通项公式（用n,H1 E?

x ? E M N F F?

H （图甲）

G

G1

H H?

G

G?

（图乙）

l, p?N*）时，Sm?Sl≤Sp2． （3）证明：当m?l?2p（m,

20．（本题满分16分）

记定义在??1R）的最大值、最小值分别为M、N，， 1?上的函数f(x)?x2?px?q（p，q∈又记h(p)?M?N．

（1）当0≤p≤2时，求M、N（用p、q表示），并证明h(p)≥1； （2）直接写出h(p)的解析式（不需给出演算步骤）；

（3）在所有形如题设的函数f(x)中，求出所有这样的f(x)使得f(x)的最大值为最小．

试题Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．（几何证明选讲）

如图，AT为单位圆O的切线，过切点T引OA的垂线TH，H为垂足． 求证：AO?OH为定值．

B．（矩阵与变换）

?1?2??5?B?已知矩阵A??，???15?满足AX?B，求矩阵X． ?2?1????O T H A

（第21—A题）

C．（极坐标与参数方程）

?x?1(et?e?t)cos?， ?2 将参数方程?（?为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．

t?t1?y?(e?e)sin?， ?2

D．（不等式选讲）

已知正实数a，b，c成等比数列，求证：a2?b2?c2?(a?b?c)2．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应．．．．．．．写出文

字说明、证明过程或演算步骤．

22．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n（n?N*）件，用X表示所抽

取的n件产品中不合格品的个数． （1）若n?2，求X的概率分布；

（2）求使X?1的概率取得最大值时的n的值．（参考数据：9901?99.50）

23．设等差数列?an?的首项为1，公差d（d?N*），m为数列?an?中的项．

?的展开式中是否含有常数项？并说明理由；

（2）证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，?x?1?的展开式中均不含常数项．

x（1）若d=3，试判断x?1xmm?南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三

参考答案

1. 4； 2. ?2； 3. 0； 4. 1； 5. 1； 6. ?1； 7. 3?； 8.

35??②；

9. 2cos?； 10. 1； 11. x?4y?14?0； 12. 12； 13. x2?y2?25； 14. n?15200?3．

答案解析

0)?4； 1．a?(a?b)=?(1，2)?(4， ?1)，代入y??x?b得b??2； 1)或(?1，2. 由y???12??1得x??1，故切点为(1，x3. 易得a?0；

4. “劣弧AB的长度大于1”的概率等于1；

366.5）5. 落在区间?64.5，的数据依次为65，66，66，65，共4个，则矩形的高等于

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