Ch04 最优选择

Ch4最优选择

经济学家认为，消费者总是选择他们能够负担的最佳物品。“最佳”的意思是，经济学假设人们在面临多种可能的选择时，将选择那些为他们提供最大效用的选项。“能够负担”的意思是，人们的选择是受约束的，其选择受到收入水平和其他资源的限制。 下面，我们首先来考察如何描述一个消费者能够负担的物品。然后来考察消费者如何决定最佳物品。 一、预算约束 1．预算集

预算集，是在一定价格和收入下，消费者能够够负担的所有消费束。

将消费束表示为(x1,x2,?,xn)，将每种商品相应的价格表示为 (p1,p2,?,pn)，将（可支配）收入表示为I，于是预算集可以表示为 p1x1?p2x2???pnxn?I x1?0,?,xn?0

下面，我们假设只有两种商品（x1, x2），这样我们就可以用图来描述消费者的选择问题。商品2代表了一种复合商品，它代表了消费者除商品1之外还需要消费的其他一切商品。 2．预算线

预算线指的是成本刚好等于I的一系列商品束。这些商品束的费用刚好可以把消费者的收入用完。

p1x1?p2x2?I

预算线也就是预算约束集的上边界。

x2Ip2?p1x1?x2p2?I预算集0?Ip1x1

3．预算线的斜率

我们可以把等式p1x1?p2x2?I重新安排一下，得到x2?Ip2?(p1p2)x1。这表示一个截距为Ip2，斜率为?p1p2的一条直线。

经济学对预算线的斜率有一个巧妙的解释。它表示在市场上，消费者能够用商品1来交换商品2的比率。

p1(x1??x1)?p2(x2??x2)?I ? p1?x1?p2?x2?0 ? ??x2p1。或者，??x1p2 1

对p1x1?p2x2?I全微分，得到p1dx1?p2dx2?0，于是?dx2p1。 ?dx1p24．收入和价格变动的影响

x2I?p2Ip2x2Ip2?预算集

预算集

00Ip1I?p1x1Ip1?x1Ip15．其他情况举例

例1 销售税

从价税（ad valorem tax），税率为t。

Case 1 两种商品都征收：(1?t)p1x1?(1?t)p2x2?I ? p1x1?p2x2?I(1?t) Case 2 仅对第一种商品征收：(1?t)p1x1?p2x2?I

x2x2Ip2I(1?t)p2Ip2

预算集预算集

00I(1?t)p1Ip1x1I(1?t)p1Ip1x1例2 实物配给（Rationing）

x2x2Ip2Ip2

预算集

预算集0x1Ip1x10x1x1 实物配给 超过x1的部分缴税 二、效用最大化

前面已经说过，消费者总是选择他们能够负担的最佳物品。也就是说，消费者在预算集内选择能给他带来最大效用的消费组合（商品束）。在下图中，点D所带来的效用最高，但是不可行，点A、B可行但非最优，唯有点C是最优点。

1．最优解的特征

2

最佳选择C点位于预算线上，并且在此点，无差异曲线与预算线相切。通过这两点我们就可能将消费者的最优选择求出来。 首先，根据两线相切，我们有

预算线的斜率 = 无差异曲线的斜率 即

p1MU1MU1MU2 ? （1） ?MRS1,2??p2MU2p1p2 因此最优选择时，在每种商品上所花费的最后一单位货币所带来的边际效用相等。这边际上的一单位货币有两种使用方法：（1）用来购买

MU11单位的第一种商品，并由此得到p1p1的效用改善；（2）用来购买

MU21单位的第二种商品，并由此得到的效用改善。如果Cp2p2点的选择是最优的，那么，对于边际上这一单位货币的两种使用方法所带来的效用改善应该

是相同的。这就是（1）式的经济学含义。 另外，由C点位于预算线上，我们得到

p1x1?p2x2?I （2） 联立（1）（2）式，即可求得最优解。 2．二阶条件（凸偏好，MRS递减）

x2x2 3．角点解

0x1

0x1

如果消费者不是很喜欢商品2，可能就会只消费商品1。

x2

E0*x1

x1很容易看出，在每一点上都有

p1MU1MU1MU2?MRS1,2?? ? p2MU2p1p23

在给定的市场价格下，消费者总是愿意用第二种商品去换取额外的第一种商品。 在利用边际条件求解最优选择问题的时候，只要MRS1,2?MU1p1，我们就可以断?MU2p2定最优解是角点解（边际条件不适用）；再通过比较解的形式。

问：在这种情形下，最优解的表达式是什么？ 4．拉格朗日乘子法

优化问题为：

MU1p与1的大小，就可以判断最优MU2p2

max U(x1,x2)x1,x2s.. tp1x1+p2x2=I

构造拉格朗日函数：L(x1,x2,?)?U(x1,x2)??(I?p1x1?p2x2) （1）一阶条件

?L?U(x1,x2) ???p1?0 （3）

?x1?x1?L?U(x1,x2) ???p2?0 （4）

?x2?x2

?L?I?p1x1?px 2?20 （5）?? 由（3）（4）两式同样可以得到（1）式的结果。即两式相除，即得

?U?x1p1 ??U?x2p2（2）拉格朗日乘子的经济学意义 ???U?x1?U?x2 ?p1p2这个等式说明，在效用最大化的点上，支出在每种商品上的最后一元钱所带来的效用增

量（最后一单位货币的边际效用）是相等的（等边际原则）。因而，每种商品的边际效用与边际成本之比相等。

不管购买哪一种商品，每额外花费一元钱应该得到相同的“额外效用”，这一“额外效用”的大小由拉格朗日乘子?给出。因此，拉格朗日乘子既表示在最优解处，每一种商品的边际效用和边际成本的比值；也可以理解为多消费一块钱所得到的边际效用（“收入”的边际效用）

4

???L** ?I(x1,x2)此式的由来 根据包络引理我们有

?u*(?)?L??? ?I?I(x1*,x2*)因此，根据前面得到的???U?x1?U?x2，我们有 ?p1p2?u*(?)MU1MU2 ?????Ip1p2对一阶条件的另一种解释 pi?MUi?假设收入的边际效用（?）在一定范围内保持不变，则价格与边际效用成正比。因此，

, ?i?{i|xi*?0}. （6）

在边际上，价格反映了消费者对于再得到一单位该商品的支付愿意。这样一来，支付意愿就可以从市场对价格变化的反应中推断出来。（由于价格用货币单位表示，所以用?来剔除币值的影响） （3）角点解

如果存在角点解，则一阶条件(3)—(5)式变为

并且，如果

那么

xi?0 （9）

为了更好地理解这些条件，我们将（8）式写成： pi??L?U ???pi?0 (i?1,2) （7）

?xi?xi?L?U ???pi?0， （8）

?xi?xi?U?xi??MUi? （10）

当某种商品的价格超过它给消费者带来的边际价值（MUi该商品。 （4）二阶条件

5

?）时，消费者就不会购买

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