12-13（二）微分几何期末复习题

一， 填空

1. 若曲线C 能与另一条曲线C1 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与C1的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C在正则点邻近的近似曲线C*为x¤(s) = s; y¤(s) = k(0)2 s2; z¤(s) = k(0)?(0)6 s3;

3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 .

4.“采柴罗\不动条件是 dx¤ds = ky¤ ? 1, dy¤ds = ?kx¤ + ?z¤ dz¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r(s) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k(s) 和挠率? (s) 满

足 . 6. 设C : r = r(s) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 .

7.半径为R的圆的曲率为_____

1______. R8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M(t) 的弧长是 5at .

9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。

10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________.

11，距离单位球面球心距离为d?0?d?1?的平面与球面的交线的法曲率为

?1 ，

12. 距离单位球面球心距离为d?0?d?1?的平面与球面的交线的测地曲率为

2?d1?d2.

13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 .

14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______?K______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 ?2 ．

16．曲面上曲线的曲率K，测地曲率Kg，法曲率Kn之间的关系是 K2=K2g+K2n 。

17. 下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 （ A ） A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线 B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身

C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合 D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直 18，下列曲面不是可展曲面的是 （ A )

?A. r?u,v???vcosu,vsinu,au?b?

?B. 曲线r(t)??acost,asint,bt?的切线曲面

C. 高斯曲率恒为0的无平点曲面 D. 与平面等距等价的曲面

19，下面各量中, 不是内蕴量的是 ( C )

A. 曲面上曲线的曲率 B. 曲面上曲线的测地曲率 C. 曲面上测地三角形的内角和 D. 曲面的高斯曲率 20，下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 C 】

A. 脐点处，任何方向都是主方向 B. 非脐点处，主方向垂直

C. 脐点处，无主方向 D. 非脐点处，有且仅有两个主方向

二，计算题

?1．曲线r(t)??cos3t,sin3t,cos2t?，求

???（1）基本向量?、、?；

?（2）曲率和挠率.

答案，习题P60 8题

2．求自然方程为kr?1

答案，课件PDF P50 例题6

2as?a?0?的曲线的参数方程

3．计算单位球面r(θ,φ) ={cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ}上曲线

θ = logcot(π/4-t/2)，

φ = π/2-t 0 ≤ t ≤ π/2,

的弧长。

答案，课件PDF P69 例题6

4．求环面r(θ,φ) = {(b+asinφ)cosθ,(b+asinφ)sinθ,acosφ}的面积,其中a,b (b > a)是正常数,参数0≤θ≤2π,0≤φ≤2π.

答案，课件PDF P73 例题9

5．求曲面Z?xy2的渐进网。

答案，习题P146 8题

6．试求双曲面z?axy的曲率线。

答案，习题P146 12题

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