第四章 真实经济周期理论 (2)

益为Et[e??(t?1)(Nt?1/H)e?n(1?rt?1)/ct?1]?c，其中Et表示基于家庭在第t期所知道的情况形成的条件期望，使成本和期望收益相等，则有：

e??t(Nt/H)(?c/ct)?Et[e??(t?1)(Nt?1/H)e?n(1?rt?1)/ct?1]?c

由于e??(t?1)(Nt?1/H)e?n并非不确定的，且Nt?1?Nten，因而上式简化为：

11?e??Et[(1?rt?1)] ctct?1上式表明，当期消费与未来消费之间的替代并非仅仅取决于对未来边际效用和收益率的期望值，而且还取决于两者的相互作用。具体来说，两变量乘积的期望等于两变量期望值的乘积加上两者的协方差，即：

111?e??{Et[]Et[1?rt?1]?cov(,1?rt?1)} ctct?1ct?1当1?rt?1高时，ct?1也高，则cov(1,1?rt?1)为负，即消费的边际收益低时，ct?1储蓄的收益高。与

1,1?rt?1不相关相比，这就使得储蓄的吸引力下降，从而趋ct?1于增加当期消费。

3、消费与劳动供给之间的替代

家庭不仅在每个时刻选择消费水平，而且选择劳动力供给水平。因而家庭最优化问题的另一个一阶条件将家庭的当期消费与其劳动供给联系起来。假设家庭将t期的每成员平均劳动供给增加少许，如?l，并利用由此得到的收入来增加它在该期的消费。同样，如果家庭的行为是最优化的，则这个边际变化必定仍然使期望效用保持不变。

第t期工作的边际负效用为e本为e??t??t(Nt/H)[b/(1?lt)]。因而该变化的效用成

(Nt/H)[b/(1?lt)]?l。又由于该变化将每工人平均消费增加了wt?l，

??t因而它的效用收益为e(Nt/H)[1/ct]wt?l。使成本和收益相等，即：

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e??t(Nt/H)[b/(1?lt)]?l?e??t(Nt/H)[1/ct]wt?l ctwt? 1?ltb在给定工资下，上式将当期闲暇和消费联系起来，由于该式包括已知的当期变量，所以不存在不确定性。这个式子与的关键方程。

11?e??Et[(1?rt?1)]是描述家庭行为ctct?1五、模型的一个特殊情形

1、简化假定：

由于在前面的模型假定中，该模型包括了线性成分（折旧及产出在消费、投资和政府购买间的分配）和对数成分（生产函数及偏好），使模型无法分析与求解。为此，我们对模型作出两个改变：排除政府，以及每期的折旧为100%（排除政府的理由是，它使我们可以分离出技术冲击的影响。另一方面，假定完全折旧的理由是，它使我们可以对模型分析求解），则资本演化与真实利率决定方程为：

Kt?1?Kt?It??Kt?Kt?Yt?Ct?Gt??Kt??Kt?1?Yt?CtAtLt1???1?rt??()Kt2、求解模型

由于市场是竞争性的，没有外部性，且人数有限，所以该模型的均衡一定与帕累托最优相对应。有二种方法找到均衡：一是忽略市场直接找到社会最优；另一种方法是求解竞争均衡。我们使用第二种方法。

模型求解关注二个变量：人均劳动供给l和产出中的储蓄比例s。基本的解析策略是，将模型的方程重写为对数形式，每当C出现时，将C全部用(1?s)Y来替代。然后我们将决定，为了满足均衡条件，l与s必须如何取决于当期技术及上一期的资本存量。另着重研究家庭最优化的两个条件（不确定性的家庭优化与劳动供给、消费之间的替代），其余的方程来自于因素分解和竞争。

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s独立于技术与资本存量，是由于对数效用、柯布－道格拉斯生产函数以及100%折旧的结合，使得技术和资本的变动对储蓄的收入效应和替代效应相互抵消，正是s保持不变，才使得我们能对模型分析求解。

首先，考虑代入，得：

11?e??Et[(1?rt?1)]。由于ct?(1?st)Yt/Nt，对该式取对数，ctct?11?rt?1?ln[(1?st)Yt/Nt]????lnEt[]

(1?st?1)Yt?1/Nt?1由于生产函数是柯布－道格拉斯生产函数及折旧为100%，因而

AL??Y1?rt??(tt1)??(t。另)Kt?1?Yt?Ct?stYt。代入上式，得：

KtKt?ln(1?st)?lnYt?lnNt????lnEt[????lnEt[?Yt?1Kt?1(1?st?1)Yt?1/Nt?1]?Nt?1st(1?st?1)Yt]

1????ln??lnNt?n?lnst?lnYt?lnE[]1?st?1?lnst?ln(1?st)????n?ln??lnEt[1]

(1?st?1)从上式可知，技术A与资本K没有进入方程。因而存在一个不变的s值满足该条件。那么st?1不是不确定的，因而，Et[11，上式变为： ]?(1?st?1)(1?s)?lnst????n?ln??s??en??

所以，储蓄s不变。

ctwt?。由于ct?Ct/Nt?(1?s)Yt/Nt，那么，代入并取对其次，现在考虑

1?ltb数，得：

ln[(1?s)Yt]?ln(1?lt)?lnwt?lnb Nt由于生产函数是柯布－道格拉斯生产函数及wt?(1??)Yt/(ltNt)，将此代入，

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得：

ln(1?s)?lnYt?lnNt?ln(1?lt)?ln(1??)?lnYt?lnlt?lnNt?lnb整理得：

lnlt?ln(1?lt)?ln(1??)?ln(1?s)?lnb

?lt?1???l?

(1??)?b(1?s)所以劳动供给也不变。尽管家庭愿意对其劳动供给进行跨期替代，但劳动供给仍然保持不变，其原因在于，技术或资本的变动对劳动供给产生的相对工资效应和利率效应会相互抵消。如，技术改进会提高当期工资（相对于期望未来工资而言），从而增加劳动供给。但是，增加储蓄量也会降低期望利率，从而降低劳动供给。

该模型其余方程不涉及最优化；它们来自于技术、因素分解和竞争。因此，我们就找到了l和s的惟一解。

3、讨论：

由于该模型为真实冲击推动产出变化的经济提供了一个例子。因为该经济是瓦尔拉斯经济，所以产出变化是对冲击的最优反应。这里的波动没有反映任何市场失灵，且政府缓和波动的干预只会减少福利：观测到的总产出变化反映了随时间变动的帕累托最优。

该模型所隐含的产出波动的具体形式由技术的动态学及资本存量的行为决定，特别 是，生产函数Yt?Kt?(AtLt)1??意味着：

lnYt??lnKt?(1??)(lnAt?lnLt)

由于Kt?sYt?1，Lt?lNt，因而：

t?1tlnYt??lns??lnYt?1?(1??)(lnAt?lnl?lnNt) ???lns??lnY?(1??)(A?gt)?(1??)A?(1??)(lnl?N?nt)?。因此，上式右边不遵循确定路径的两项是?lnYt?1与(1??)A上式可重写t为：

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? ???Y??(1??)AYtt?1t?是lnY与各期当lnA等于A?gt时lnY所取值之差。 其中，Ytt为了了解上式对产出动态学的含义，以及该式在各期都成立，意味着

???Y??(1??)?YAt?1，或者： t?1t?2??(Y???Y?)/(1??) At?1t?1t?2???A?因为AtAt?1??A,t，将上二个式代入前面的波动式中，得：

????Y??(1??)(?AYtt?1At?1??A,t)???(Y???Y?)?(1??)???Yt?1At?1t?2A,t

????Y??(???A)Yt?1At?2?(1??)?A,t?可写因此，对数产出对其正常路径的偏离服从一个二阶自回归过程，即，Yt为其前两期值的一个线性组合加上一个白噪声扰动。

?的一阶滞后系数为正，其二阶滞后系数为负，两者的结合使得产出对扰动Yt具有一个“拱形”反应。假设??1/3，?A?0.9。考虑一个数量为1/(1??)对?A,t的一次性冲击。反复运用上式表明，相对于产出的原有路径，该冲击在发生当期将对数产出提高了1，在下一期提高了1.23[(???A)乘以1]，并下下一期提高1.22[(???A)乘以1.23，再减去??A再乘以1]，以及随后各期分别提高了1.14、1.03、0.94、0.84、0.76、0.68等等。由于?不大，因而产出动态学在很大程度上决定于技术冲击的持续性?A。如果?A?0，那么，即使??1/3，这意味着冲击初始影响，在仅仅两期过后就消失了几乎十分之九。

本模型不具有任何机制将瞬时技术扰动转变为显著的长期持续的产出变动，在本模型变为一般的形式也如此。但是，这个特例并未很好地与波动的主要特征相匹配。最明显的是，储蓄率不变，因而消费和投资同等变动，并且劳动投入不变。实际上，投资变动远大于消费变动，且就业和工作时间是强烈的顺周期的，即两者的变动方向与总产出相同。此外，本模型预测，真实工资是强烈的顺周期的。因为生产函数是柯布－道格拉斯形式，所以真实工资为(1??)Y/L；由于L

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