2019最新高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 2.1.1 合情推理检测

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2.1.1 合情推理

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列推理是归纳推理的是( )

A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2

C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab

ab2

2

2

2

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理． 答案：B

2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )

A．白色 C．白色的可能性大

B．黑色

D．黑色的可能性大

解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．

答案：A

3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．

答案：A

12n4．设n是自然数，则(n－1)[1－(－1)]的值( )

8A．一定是零

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B．不一定是偶数

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C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数

12n解析：当n为偶数时，(n－1)[1－(－1)]＝0为偶数；

8

1212n当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，(n－1)[1－(－1)]＝(4k＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．

8812n所以(n－1)[1－(－1)]的值一定为偶数．

8答案：C

5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈N)个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.

*

按此规律推断出Sn与n的关系式为( ) A．Sn＝2n C．Sn＝2

nB．Sn＝4n D．Sn＝4n－4

解析：由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案是这样构成的；各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为Sn＝4n－4.

答案：D 二、填空题

6．观察下列不等式： 131＋2＜， 221151＋2＋2＜， 23311171＋2＋2＋2＜， 2344…

照此规律，第五个不等式为________．

解析：观察知，每行不等式左端的最后一个分数的分母的底数与右端值分数的分母相等，且1111111

每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋2＋2＋2＋2＋2＜.

234566

1111111

答案：1＋2＋2＋2＋2＋2＜ 234566

1

7．已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积S＝ab.若三棱锥PABC的三条侧棱

2

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两两互相垂直，且|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，类比上述结论可得此三棱锥的体积VPABC等于________．

111

解析：三棱锥体积VPABC＝×|PA|·|PB|·|PC|＝abc.

3261

答案：abc

68．观察下列各式：

①(x)′＝3x；②(sin x)′＝cos x；③(e－e)′＝e＋e；④(xcos x)′＝cos x－xsin

3

2

x－xx－xx.

根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．

解析：对于①，f(x)＝x为奇函数，f′(x)＝3x为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，

3

2

f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝ex－e－x为奇函数，p′(x)＝ex＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝xcos x为奇函数，q′(x)＝cos x－xsin x为偶函数．

归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数． 答案：奇函数的导函数是偶函数 三、解答题

9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N，m≥2)．

*

(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数． (2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式． (3)求a10，并说明a10表示的实际意义． (4)已知an＝9 900，问：an是数列第几项？

解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，…，

(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…， 所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N. (3)a10＝11×12＝132.

*

a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.

(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98， 则an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．

10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

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解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．

猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.

B级 能力提升

1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A．6n－2 C．6n＋2

B．8n－2 D．8n＋2

解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.

答案：C

2．若Sn是等差数列{an}的前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an，类似地，若Tn是等比数列{bn}的前n项积，则有T2n－1＝________.

解析：T2n－1＝b1·b2·b3·…·b2n－1＝(b1·b2n－1)·(b2·b2n－2)·…·bn＝bn答案：bn2n－1

2n－1

.

3．观察下列等式：

322

①sin10°＋cos40°＋sin 10°cos 40°＝；

4322

②sin6°＋cos36°＋sin6°cos36°＝.

4

由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 3

解：由①②知，两角相差30°，运算结果为，

4

322

猜想：sinα＋cos (α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.

4

1－cos 2α1＋cos（2α＋60°）

证明：左边＝＋＋sin αcos(α＋30°)

22

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cos 2αcos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°＝1－＋＋

22sin α?

sin α??3

cos α－?

2??2

11331－cos 2α

＝1－cos 2α＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α－ 244443

＝＝右边 4

3

故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝4.

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