同底指数函数与对数函数的交点问题

同底指数函数与对数函数的交点问题

x函数y?a与y?logax图像的交点问题解答如下： x一、a?1时方程a?logax的解

xx先求如图3所示曲线y?a与y?logax相切时a的值。设曲线y?a与y?logax相切

于点M（x0,x0），由于曲线y?a在点M处的切线斜率为1，

x0x???a?x0,?a0?x0,即?x?x0(a)'|?1??x?x0?alna?1 所以?x

?ax0?x0,11?则alna??1lna?x0?lna所以? 1e?,所以a?ee,此时x0?elna即。

以上说明，当a1?ee1x时，两条曲线y?a与y?logax相切于点M(e,e)。

因此有以下结论： ①当a1?ee,方程(*)无解（见图1所示）；

②当1?a?1ee，方程（*）有且只有两解（见图2所示）；

③当a1?ee，方程（*）有且只有一解（见图3所示）。

用计算器可算得

x二、0?a?1时方程a?logax的解

x先求如图5所示曲线y?a与y?logax相切时a的值。

x设曲线y?a与y?logax相切于点P，由对称性知，点P在直线y?x上，设P(x0,y0)。 x由于曲线y?logax(或y?a)在点P处切线的斜为?1， x0??a?x0,?(logax)'|xx??10?所以?

1ee?1.44467。

?ax0?x0,??1?xlna??1即?0

??1?1?1?1?,,?alna????elnalna即???1?x??x?100??e ?lna?所以

11a?()ex0?e。此时，e。 则

111a?()e,xe时，两条曲线y?a与y?logax相切于点P（ee）。 以上说明，当

因此有以下结论：

10?a?()ee时，方程（*）有且只有三解（见图4所示）； ①

1a?()ee时，方程（*）有且只有一解（如图5所示）； ②当

1()e?a?1③当e时，方程（*）有且只有一解（如图6所示）。

综上所述，得：

1a?(0,()e)xa?logax有且只有三解； e当时，方程1a?()e时,方程ax?logaxe当有且只有一解； 1a?(()e,1)xe当时，方程a?logax有且只有一解；

当

1a?(1,ee1?ee)时，方程ax?logax有且只有两解；

当ax时，方程a?logax有且只有一解；

当

1a?(ee,??)x时，方程a?logax无解。

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