高一物理竞赛课程1-6次课讲义 (3)

第二讲 理想气体的内能

知识体系介绍

5. 理想气体的压强，温度的微观解释 6. 理想气体的内能 7. 热力学第一定律

知识点拨

一．理想气体的微观模型

?33?1先来作个估算：在标准状态下，1mol气体体积V0?22.4?10mmoI，分子数

NA?6.02?1023moI?1，若分子直径d?2.0?10?10m，则分子间的平均间距

L?(V0/NA)1/3?3.34?10?9m，相邻分子间的平均间距与分子直径相比L/d?17。

由此可知：气体分子间的距离比较大，在处理某些问题时，可以把气体分子视为没有大小的质点；同时可以认为气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不计，分子在空间自由移动，也没有分子势能。因此理想气体是指分子间没有相互作用和分子可以看作质点的气体。这一微观模型与气体愈稀薄愈接近于理想气体的宏观概念是一致的。 1．理想气体的压强

宏观上测量的气体施给容器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。在通常情况下，气体每秒碰撞1cm2的器壁的分子数可达1023。在数值上，气体的压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁的平均冲量。

可以用动量定理推导，其表达式为

P?2n?K3

设气体分子都以平均速率v运动，因沿上下、左右、前后各向运动的机会均等，所以各

1占总数的．若分子的数密度（即单位体积内气体的分子数）为n，则单位时间内碰撞单位

61面积器壁的分子数应为n(v×1)．每个分子每次与器壁碰撞时将施于器壁2mv的冲量，所

611以压强p?n(v×1)×2mv?nmv2，假设每个分子的速率相同．每个分子的平均平动动能

63

112εk?mv2，所以p?nmv2?nεk．

233，

式中n是单位体积内分子个数，

??m?K122是分子的平均平动动能，n和?K增大，意味

着单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多，分子碰撞器壁一次给予器壁的平均冲量增大，因而气体的压强增加。

从上述的分析可以看出，气体压强是有气体分子热运动产生的，所以即便到了完全失重的环境，液体对容器壁的压强消失，但是气压仍然存在。

2.温度的微观意义

将PV??RT与??N代入P?2n?K式后，可以得到气体分子的平均平动动能为 NA3?K?kT

以上?是物质的量，N为分子总数，NA为阿伏伽德罗常数，n为单位体积分子个数，

k?R称为玻尔兹曼常数。这就是气体温度公式，温度升高，分子热运动的平均平动动能增

NA32大，分子热运动加剧。因此，气体的温度是气体分子平均平动能的标志，是分子热运动剧烈程度的量度。

3．内能

物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和称为物体的内能。由于分子热运动的平均动能跟温度有关，分子势能跟体积有关。因此物体的内能是温度和体积的函数。

理想气体的分子之间没有相互作用，不存在分子势能。因此：理想气体的内能是气体所有分子热运动动能的总和，它只跟气体的分子数和温度有关，与体积无关。 理想气体的内能决定式推导：

通常，分子的无规则运动表现为分子的平动和转动等形式。对于单原子分子的理想气体

3E?N?kT2。来说，分子只有平动动能，其内能应是分子数与分子平均平动动能的乘积，即

对于双原子分子(如N2、O2)的理想气体来说，在常温下，分子运动除平动外还可以振动，55E?N?kTkT2，因此，理想气体的内能可以表达为 分子的平均动能为2，其内能

imiiE?N?kT?RT?PV2M22

对于原单原子分子气体i?3，对于双原子分子气体i?5，对多原子分子i?6一定质量的

理想气体的内能改变量：

?E?min(R)?T?CV?TM2M

此式适用于一定质量理想气体的各种过程。不论过程如何，一定质量理想气体的内能变不变就看它的温度变不变。式中

CV?iR2，叫气体的等容热容，表示1mol的理想气体温度

升高或降低1K

所增加或减少的内能。?E?nC?T是可以变成

VM?E?ii ?(PV)?(P2V2?P1V1)22

二．热力学第一定律

作功可以改变物体的内能。如果外界对系统作功W。作功前后系统的内能分别为E1、E2，则有

E2?E1?W

没有作功而使系统内能改变的过程称为热传递或称传热。它是物体之间存在温度差而发生的转移内能的过程。在热传递中被转移的内能数量称为热量，用Q表示。传递的热量与内能变化的关系是

E2?E1?Q

做功和传热都能改变系统的内能，但两者存在实质的差别。作功总是和一定宏观位移或定向运动相联系。是分子有规则运动能量向分子无规则运动能量的转化和传递；传热则是基于温度差而引起的分子无规则运动能量从高温物体向低温物体的传递过程。 2气体体积功的计算 在力学中，功定义为力与位移这两个矢量的标积。对封闭气体，设有一气缸，其中气体的压强为P，活塞的面积S。当活塞缓慢移动一微小距离?x时，在这一微小的变化过程中，认为压强P处处均匀而且不变。气体对外界所作的元功

W??pS?x?p?V，外界(活塞)对气体做功W??W???p?V，当气体膨胀时

PS ?x ?V＞0，外界对气体做功W＜0；气体压缩时?V＜0，外界对气体做功W＞

0。

气体做功过程可用p-V图上一条曲线来表示，功值W为p-V图中过程曲线下的面积，当气体被压缩时W＞0。反之W＜0。如图所示的由A态到B态的三种过程，气体都对外做功，由过程曲线下的面积大小可知：ACB过程对外功最大，AB次之，ADB的功最小。由此可知，在给定系统的初态和终态，并不能确定功的数值。功是一个过程量，只有当系统的状态发生变化经历一个过程，才可能有功；经历不同的过程，功的数值一般而言是不同的。

循环过程 若一系统由某一状态出发，经过任意的一系列的过程，最后又回到原来的状态，这样的过程称为循环过程.

循环过程中系统对外所做的功 如图所示为某一系统的准静态循环过程．在膨胀过程AC1B段，系统对外所做的功(W1)是正的，其数值与面积AC1BNMA相等；在压缩过程BC2A段，系统对外做功(W2)为负，其数值与面积BC2AMNB相等．在一循环中系统对外所做的功W就是这两段功的代数和(上述

两个“面积”的差)，即W?W1?W2?面积AC1BNMA-面积BC2AMNB=面积

AC1BC2A.可见，在一循环中系统对外所做的功，数值上等于图所示pV图中闭合曲线的“面

积”.

若循环沿顺时针方向进行。这个功是正的，相应的循环称为正循环；若循环沿逆时针方向进行，一个循环中系统对外所做的功为负，数值仍等于闭合曲线所包围的面积，相应的循环称为负循环．

训练提示

现在开始我们将进入热学过程的分析与计算，这个过程要：

1） 使用气态方程，分析PVT之间的联动关系

2） 使用膨胀做功的知识与热力学第一定律，再结合内能与温度的对应关系，

分析吸放热，内能变化等现象。

例题精讲

【例1】 如图所示，开口向上粗细均匀的玻璃管长L?100cm，管内有一段高h?20cm的

水银柱，封闭着长为a?50cm的空气柱，大气压强p0?76cmHg，温度t0?27℃，求：温度至少升到多高时，可使水银全部溢出？

【例2】 如图所示，两个固定的水平气缸，由水平硬杆相连的活塞面积SA=0.8㎡，SB=0.2

㎡，两气缸通过一根带阀门K的细管连通，最初阀门关闭，A内贮有气体，B内为真空，两活塞分别与各自气缸底相距a=b=30cm，活塞静止。今将阀门K打开，活塞将向何处移动？移动多远？（设温度不变，不计摩擦，大气压为p0）

【例3】 一定质量的理想气体经历了p－T图线所示ab、bc、cd、da四个过程，其中ab垂

直于OT，bc的延长线经过O点，cd平行于OT，da平行于cb，

p a 由图可以判断（ ）

A.ab过程中气体的体积增大，分子平均动能不变。 d c b B.bc过程中气体的体积增大，内能减小。

C.cd过程中气体的体积减小，分子平均动能减小。

O T D.da过程中气体的体积增大，内能增大。

【例4】如图，a和b是绝热气缸内部的两个活塞，他们把气体分为等量的甲乙两部分，a是导热的，且位置固定，b是绝热的，可以自由无摩擦滑动，但不漏气，b右方为大气，图中k为电热丝，开始时，系统处于平衡态，两部分气体压强温度一样，现接通电源，缓慢加热一段时间后，系统又处于平衡态，则（ ）

A. 甲乙中气体温度可能不变。 B. 甲乙压强都增加。

C. 甲乙内能都增加且增加量相等。

D. 电热丝放的热等于甲乙气缸中内能增加总和。 【例5】如图所示,密闭绝热的具有一定质量的活塞,活塞的上部封闭着气体,下部为真空,活塞与器壁的摩擦忽略不计,置于真空中的轻弹簧的一端固定于容器的底部.另一端固定在活塞上,弹簧被压缩后用绳扎紧,此时弹簧的弹性势能为EP(弹簧处于自然长度时的弹性势能为零),现绳突然断开,弹簧推动活塞向上运动,经过多次往复运动后活塞静止,气体达到平衡态,经过此过程（ ）

A．EP全部转换为气体的内能。

B．EP一部分转换成活塞的重力势能,其余部分仍为弹簧的弹性势能。 C．EP全部转换成活塞的重力势能和气体的内能。

D．EP一部分转换成活塞的重力势能,一部分转换为气体的内能,其余部分仍为弹簧的弹

性势能。

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