概率论五六章习题详解（王志刚版） (3)

?i??P(X?i)?ei!(i?0,1,)

求：样本X1,X2,...,Xn的联合分布律为： 解：

P?X1?i1,X2?i2,...,Xn?in? ??P?X?ik?

k?1n??k?1n?ike?n?i?0,1,2,, kn?(ik)!k?1i?1,2,,n .

3．若总体X2N(?,?2)，其中?已知，但?末知，而X1,X2,,Xn为

它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量.

n1n1n122X(X??)(X?X)?i（1）?i ；（2）?i ；（3） ； ni?1ni?1n?1i?1X?3X??n ；n ； （6）（4）（5）??X?5n 12(Xi?X)?n(n?1)i?1解： （1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数?，所以不是统计量 .

4. 总体X的一组容量为10的样本观测值为：

0,0.2?,0?.25,F10(x). 0.?3,，求经验分布函数?0解 :将样本观测值重新排序为：

?1??0.7??0.3??0.1?0?0.15?0.2?0.25?1?2，所以

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经验分布函数为：

??0x??1?0.2?1?x??0.7F(x)????0.4?0.7?x??0.310?

??0.81?x?2??1x?25. 来自总体X的一组样本观测值为：

x i 102 104 106 ni 2 3 5 求样本均值X，样本方差S2和样本标准差S.

解：x?104.6，s2?2.71，s?1.646 .

6. 在总体N(52,6.32)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值在50.8到53.8之间的概率.

解： 由XN(52,6.3236)知

X?526.36?X?522.12N(0,1) 故所求概率为

P?50.8?X?53.8??P??50.8?52X?5253.8?52?2.12???2.122.12??

?P???1.14?X?52??2.12?1.71??

??(1.71)??(?1.14) ??(1.71)?1??(1.14)

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X

?0.9564?1?0.8729 ?0.8293 .

7. 设随机变量X与Y相互独立，且XN(?,?2),Y?2?2(n)，证明

X??t?t(n) .

Yn证明：由于XN(?,?2)，则

N(0,1),

X??

?X??X??t?? 据t分布的定义，Yn?Yt(n)n.

?22EX??XDX??8. 若对总体有，，取X的容量为n的样本，样本

均值为X，问n多大时，有

P(X???0.1?)?0.95

解： 由XX???2N(0,1)知 N(?,)，n?nX???0.1n)

P(X???0.1?)?P(?n?2?(0.1n)?1?0.95

即?(0.1n)?0.975

查表得0.1n?1.96，即n?385 . 9. 设总体X

N(150,400)，YN(125,625)，并且X，Y相互独立，

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现从两总体中分别抽取容量为5的样本，样本均值分别为X，Y，求

PX?Y?0 .

?(X?Y)?2525???? 解： PX?Y?0?P?205205????????(?1.75) ?0.0401 .

10. 设总体X，Y都服从正态分布N(?,?)，并且X，Y相互独立，

2X，Y分别是总体X和Y的容量为n的样本均值，确定n的值，使PX?Y?0?0.01 .

解 由于

??X?Y2?2n于是，

?n(X?Y)N(0,1) 2??n??n?PX?Y???P?X?Y??

2???2?????n??2?1???

2???0.01.

nn?2.58，n?13.3128，取n?14 . 即?()?0.995，查表得2211. 设总体X

N(0,1)X1,X2,,X6为X的一个样本，设，

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Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，求常数C，使(Y?2)分布.

解 由于X1,X2,,X6独立同分布

所以

X1?X2?X3N(0,3),X4?X5?X6N(0,3)

X1?X2?X3N(0,1),X4?X5?X633N(0,1)

于是(XX221?2?X3)?(X4?X5?X6)=

3??X1?X2?X32X4?X5??(3)?(X62?3)??

?Y21?Y22

其中Y2212Y223?(1),3?(1) 所以13(Y21?Y22)?13??(X1?X2?X3)2?(X4?X25?X6)?? 123Y?(2)

即C?13 .

12. 设X1,X2,,X10为来自总体N(0,0.09)的样本，P?10???X2?i?1.44?i?1? . 解 设总体为X，则由XN(0,0.09)可知

X0.3N(0,1)，Xi0.3N(0,1)，i?1,2,,10, 由定理 可知

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求

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