高中数学基础知识归类 - 献给高三（理科）考生

高中数学基础知识归类——献给高三(理科)考生

一.集合与简易逻辑

1.注意区分集合中元素的形式.如：{x|y?lgx}—函数的定义域；{y|y?lgx}—函数的值域； {(x,y)|y?lgx}—函数图象上的点集.

2.集合的性质： ①任何一个集合A是它本身的子集,记为A?A. ②空集是任何集合的子集,记为??A.

③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A?B,在讨论的时候不要遗忘了A??的情况 如：A?{x|ax2?2x?1?0},如果A?R???,求a的取值.(答：a?0)

（A?B）?C?A?（B?C） ④CU(A?B)?CUA?CUB,CU(A?B)?CUA?CUB；；

（A?B）?C?A?（B?C） .

⑤A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R.

⑥A?B元素的个数：card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B).

⑦含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为2n?1；非空真子集个数为2n?2. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c,使 f(c)?0,求实数p的取值范围.(答：(?3,))

234.原命题: p?q；逆命题: q?p；否命题: ?p??q；逆否命题: ?q??p；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“sin??sin?”是“???”的 条件.(答：充分非必要条件) 5.若p?q且q??p,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).

6.注意命题p?q的否定与它的否命题的区别: 命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q. 命题“p或q”的否定是“?p且?q”；“p且q”的否定是“?p或?q”. 如：“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则a?b是奇数” 否定是“若a和b都是偶数,则a?b是奇数”. 7.常见结论的否定形式

原结论 否定 原结论 否定

是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有n?1个 小于 不小于 至多有n个 至少有n?1个

对所有x,成立 存在某x,不成立 p或q ?p且?q

对任何x,不成立 存在某x,成立 p且q ?p或?q 二.函数 1.①映射f:A?B是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不 同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集?B).

②一一映射f:A?B： ⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象. 2.函数f: A?B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴 的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.

3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.

4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?0;偶次根式被开方数非负;对数真数?0,底数?0 且?1；零指数幂的底数?0)；实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义 域由a?g(x)?b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x?[a,b]时g(x)的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；

⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；

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⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).

6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵若f(x)是偶函数,那么f(x)?f(?x)?f(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0)?0)； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或

f(?x)f(x)??1(f(x)?0)；

⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如f(x)?0定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数y?log1(?x2?2x)的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))

28.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）；

上下平移----“上加下减”(注意是针对f(x)而言).⑵翻折变换：f(x)?|f(x)|；f(x)?f(|x|). ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像C1与C2的对称性,即证C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C2上,反之亦然. ③函数y?f(x)与y?f(?x)的图像关于直线x?0(y轴)对称；函数y?f(x)与函数

y?f(?x)的图像关于直线y?0(x轴)对称；

④若函数y?f(x)对x?R时，f(a?x)?f(a?x)或f(x)?f(2a?x)恒成立,则y?f(x)图像关 于直线x?a对称；

⑤若y?f(x)对x?R时,f(a?x)?f(b?x)恒成立,则y?f(x)图像关于直线x? ⑥函数y?f(a?x),y?f(b?x)的图像关于直线x?b?a2a?b2对称；

对称(由a?x?b?x确定)；

对称；

f(x)?A?f(x)2 ⑦函数y?f(x?a)与y?f(b?x)的图像关于直线x? ⑧函数y?f(x),y?A?f(x)的图像关于直线y?A2a?b2对称(由y?确定)；

⑨函数y?f(x)与y??f(?x)的图像关于原点成中心对称；函数y?f(x),y?n?f(m?x) 的图像关于点(,)对称；

22mn ⑩函数y?f(x)与函数y?f?1(x)的图像关于直线y?x对称；曲线C1：f(x,y)?0,关于 y?x?a,y??x?a的对称曲线C2的方程为f(y?a,x?a)?0(或f(?y?a,?x?a)?0； 曲线C1：f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a?x,2b?y)?0. 9.函数的周期性：⑴若y?f(x)对x?R时f(x?a)?f(x?a)恒成立,则 f(x)的周期为2|a|； ⑵若y?f(x)是偶函数,其图像又关于直线x?a对称,则f(x)的周期为2|a|； ⑶若y?f(x)奇函数,其图像又关于直线x?a对称,则f(x)的周期为4|a|； ⑷若y?f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)的周期为2|a?b|；

⑸y?f(x)的图象关于直线x?a,x?b(a?b)对称,则函数y?f(x)的周期为2|a?b|； ⑹y?f(x)对x?R时,f(x?a)??f(x)或f(x?a)??1f(x),则y?f(x)的周期为2|a|；

10.对数：⑴logab?loganbn(a?0,a?1,b?0,n?R?)；⑵对数恒等式alogaN?N(a?0,a?1,N?0)； ⑶loga(M?N)?logaM?logaN;logaMN?logaM?logaN;logaMn?nlogaM；

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loganM?logaM；⑷对数换底公式logaN?n1logbNlogba(a?0,a?1,b?0,b?1)；

推论：logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3???logan?1an?loga1an.

(以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2,?an?0且a1,a2,?an均不等于1) 11.方程k?f(x)有解?k?D(D为f(x)的值域)；a?f(x)恒成立?a?[f(x)]最大值, a?f(x)恒成立?a?[f(x)]最小值.

12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0)；②顶点式：

f(x)?a(x?h)2?k(a?0)； ③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).

15.一元二次方程实根分布:先画图再研究??0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域可由 不等式a?g(x)?b解出；若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x?[a,b]时,求 g(x)的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.

17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数 也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数； ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹y?f(x)与y?f?1(x)互为 反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f?1(x)]?x(x?B),f?1[f(x)]?x(x?A). 18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

?f(a)?0?f(a)?0 f(u)?g(x)u?h(x)?0(或?0)(a?u?b)??(或?)；

f(b)?0f(b)?0??19.函数y?ax?b(c?0,ad?bc)的图像是双曲线：①两渐近线分别直线x??d(由分母为零确定)和

cx?dc 直线y?a(由分子、分母中x的系数确定)；②对称中心是点(?d,a)；③反函数为y?b?dx；

ccccx?a20.函数y?ax?(a?0,b?0)：增区间为(??,?xbba],[ba,??),减区间为[?,ba,0),(0,ba].

1 如：已知函数f(x)?三.数列

ax?1x?2在区间(?2,??)上为增函数,则实数a的取值范围是_____(答：(,??)).

2??S1(n?1)1.由Sn求an,an?? 注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要 *S?S(n?2,n?N)?n?1?n54(n?1) 单独列出.如：数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?an?1，求an(答：an?).

3?4n?1(n?2)3?2.等差数列{an}?an?an?1?d(d为常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*) ?an?an?b(a?d,b?a1?d)?Sn?An2?Bn(A?,B?a1?)；

22dd3.等差数列的性质： ①an?am?(n?m)d,d?am?anm?n；

②m?n?l?k?am?an?al?ak(反之不一定成立)；特别地,当m?n?2p时,有am?an?2ap； ③若{an}、{bn}是等差数列,则{kan?tbn}(k、t是非零常数)是等差数列；

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍是等差数列； ⑤等差数列{an},当项数为2n时,S偶?S奇?nd,S奇?an；项数为2n?1时,

S偶an?1 S偶?S奇?a中?an(n?N*),S2n?1?(2n?1)an,且S奇?n；An?f(n)?an?f(2n?1).

S偶n?1Bnbn3

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式

?an?0?an?0 ?(或?).也可用Sn?An2?Bn的二次函数关系来分析.

?an?1?0?an?1?0 ⑦若an?m,am?n(m?n),则am?n?0；若Sn?m,Sm?n(m?n),则Sm?n??(m?n)； 若Sm?Sn(m?n),则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；Sm?n?Sm?Sn?mnd. 4.等比数列{an}?5.等比数列的性质

①an?amqn?m,q?n?man；②若{an}、{bn}是等比数列，则{kan}、{anbn}等也是等比数列；

aman?1an2?q(q?0)?an?an?1an?1(n?2,n?N*)?an?a1qn?1.

?na1(q?1)?na1(q?1)?? ③Sn??a(1?qn)a?aq；④m?n?l?k?aman?alak(反之不一定成 ??a1na11n1?1?q?1?q(q?1)??1?qq?1?q(q?1)?? 立)；Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm. ⑤等比数列中Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??(注：各项均不为0) 仍是等比数列. ⑥等比数列{an}当项数为2n时,

S偶S奇?q；项数为2n?1时,

S奇?a1S偶?q.

6.①如果数列{an}是等差数列,则数列{Aan}(Aan总有意义)是等比数列；如果数列{an}是等比数列, 则数列{loga|an|}(a?0,a?1)是等差数列；

②若{an}既是等差数列又是等比数列,则{an}是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法：a?d,a,a?d；四个数成等差的设法：a?3d,a?d,a?d,a?3d； 三个数成等比的设法：,a,aq；四个数成等比的错误设法：

qaaq3,,aq,aq3(为什么？)

qa7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

?S1,(n?1) ⑵已知Sn(即a1?a2???an?f(n))求an用作差法：an??.

S?S,(n?2)n?1?n??f(1),(n?1) ⑶已知a1?a2???an?f(n)求an用作商法：an??f(n),(n?2).

??f(n?1)a ⑷若an?1?an?f(n)求an用迭加法. ⑸已知n?1?f(n),求an用迭乘法.

an ⑹已知数列递推式求an,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如an?kan?1?b,an?kan?1?bn, an?kan?1?a?n?b(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后, 再求an.②形如an?an?1kan?1?b的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位 相减；⑤分裂通项法.公式：1?2?3???n?n(n?1)；12?22?32???n2?n(n?1)(2n?1)；

2611 13?23?33???n3?[

1n(n?k)n(n?1)2]2；1?3?5???n?n2；常见裂项公式

11n(n?1)1n!?11n?

1n?1；

?(?kn111n?k)；

n(n?1)(n?1)?[2112n(n?1)?1(n?1)(n?2)]；

n(n?1)!??(n?1)! 常见放缩公式：2(n?1?n)?n?1?n?1n?2n?n?1?2(n?n?1).

4

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. ⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利 率为r,则n期后本利和为：Sn?p(1?r)?p(1?2r)??p(1?nr)?p(n?n(n?1)2r)(等差数列问

题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元,采用分期等 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利 率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：

p(1?r)n?x(1?r)n?1?x(1?r)n?2???x(1?r)?x(等比数列问题). 四.三角函数

1.?终边与?终边相同?????2k?(k?Z)；?终边与?终边共线?????k?(k?Z)；?终边 与?终边关于x轴对称??????k?(k?Z)；?终边与?终边关于y轴对称

???????2k?(k?Z)；?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z)； ?终边与?终边关于角?终边对称???2????2k?(k?Z).

2.弧长公式：l?|?|r；扇形面积公式：S扇形?1lr?1|?|r2；1弧度(1rad)≈57.3?.

223.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”. 注意： tan15??cot75??2?3；tan75??cot15??2?3； 4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹

0 sinx?cosx、sinx?cosx”的关系.

如(sinx?cosx)2?1?2sinxcosx等.

?15.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视) ．．．?．为锐角．．．．

?212210?1110?10?16.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.

?2sin??cos?sin??cos? 如：??(???)??；2??(???)?(???)；2??(???)?(???)；????2?222???2；

????(???)?(???)等；“1”的变换：1?sin2x?cos2x?tanx?cotx?2sin30??tan45?； 7.重要结论：asinx?bcosx?a2?b2sin(x??)其中tan??）；重要公式sin2??1?cos2?；cos2??

ab2

1?cos2?2；tan?2??1?cos?1?cos??sin?1?cos??1?cos?sin?22；1?sin??(cos?sin)2?|cos?sin|.

2222???? 万能公式：sin2??2tan?1?tan?2；cos2??1?tan?1?tan??2；tan2????2tan?1?tan?2.

k???k??8.正弦型曲线y?Asin(?x??)的对称轴x??k???(k?Z)；对称中心(??2,0)(k?Z)；

k???? 余弦型曲线y?Acos(?x??)的对称轴x??(k?Z)；对称中心(asinA?,0)(k?Z)；

bcsinC9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三 内角和等于180?,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理： 余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA,cosA?b?c?a2bc222?sinB??2R；

?(b?c)?a2bc22?1；

2S?ABCa?b?c 正弦平方差公式：sin2A?sin2B?sin(A?B)sin(A?B)；三角形的内切圆半径r?5

；

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