同济五版高等数学（下）复习资料

第八章 多元函数微分法及其应用

一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法

在求

?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函?x?y数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：

1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则

dzdz?u?zdv???? dxdu?x?vdx?f?v2）z?f?x,v?，v???x,y?，则?x??x??v??x，

?z?f?z?f?v?? ?y?u?y3）z?f?u?，u???x,y?则

?zdz?u?zdz?u????， ?xdu?x?ydu?y3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

设z?z?x,y?是由方程F?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则

F?z??x?xFz?Fz?0?，

Fy?z???yFz?Fz?0?

或者视z?z?x,y?，由方程F?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

?z?z(或). ?x?y2）方程组的情况

由方程组??F?x,y,u,v??0?z?z两边同时对x(或y)求导解出(或)即可.

?x?y?G?x,y,u,v??0二、全微分的求法

方法1：利用公式du??u?u?udx?dy?dz ?x?y?z方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

?z??zdu?dv??v??u dz??

?z?z?dx?dy?y??x?三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

?x???t??1）设空间曲线Г的参数方程为 ?y???t?，则当t?t0时，在曲线上对应点P0?x0,y0,z0?处的切线

?z???t???方向向量为T??'?t0?,?'?t0?,?'?t0?，切线方程为

??

x?x0y?y0z?z0??

?'?t0??'?t0??'?t0?法平面方程为 ?'?t0??x?x0???'?t0??y?y0???'?t0??z?z0??0

2）若曲面?的方程为F?x,y,z??0，则在点P0?x0,y0,z0?处的法向量n?Fx,Fy,Fz切平面方程为

Fx?x0,y0,z0??x?x0??Fy?x0,y0,z0??y?y0??Fz?x0,y0,z0??z?z0??0

???P0 ，

法线方程为

x?x0y?y0z?z0 ??Fx?x0,y0,z0?Fy?x0,y0,z0?Fz?x0,y0,z0?若曲面?的方程为z?f?x,y?，则在点P0?x0,y0,z0?处的法向量n?fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1，切平面方程为

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0

???法线方程为

x?x0y?y0z?z0 ??fx?x0,y0?fy?x0,y0??1四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法

设函数z?f?x,y?在点P0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx?x,y??0，fy?x,y??0，解出驻点?x0,y0?，记A?fxx?x0,y0?，B?fxy?x0,y0?，C?fyy?x0,y0?.

1）若AC?B2?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处取得极值，且当A?0时有极大值，当A?0时有极小值.

2） 若AC?B2?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.

23） 若AC?B?0，不能判定f?x,y?在点?x0,y0?处是否取得极值.

2 条件极值的求法

函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下：

1）化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.

2）拉格朗日乘数法

作辅助函数F?x,y??f?x,y?????x,y?，其中?为参数，解方程组

令???????Fx,y?fx,y???x,y0xx?x??令???????Fx,y?fx,y???x,y0?yyy????x,y??0???

求出驻点坐标?x,y?，则驻点?x,y?可能是条件极值点.

3 最大值与最小值的求法

若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要:

1、偏导数的求法与全微分的求法；

2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 3、最大值与最小值的求法

第九章 重积分

积分类型 二重积分 Y—型 X—型 （1） 利用直角坐标系 计算方法 ??Df(x,y)dxdy??dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy ??f(x,y)dxdy??Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx I???f?x,y?d? D（2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含(x2 平面薄片的质量 质量=面密度?面积 ?y2)?, ?为实数 ) ??f(?cos?,?sin?)?d?d?D??d?????2(?)?1(?) f(?cos?,?sin?)?d? 0???2? 0???? ????2? （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） ??0???I??2??f(x,y)dxdy?D1????计算步骤及注意事项 1． 画出积分区域 f(x,y)对于x是奇函数，即f(?x,y)??f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数， 即f(?x,y)?f(x,y)D1是D的右半部分2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数

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