6[1].2点估计的评价标准(2)

例5

设总体服从U(0, θ)上的均匀分布，则θ的 最大似然估计不具有无偏性。

概 率 论 与 数 理 统 计

解：由上节知，θ 的最大似然估计是 x( n ) . 1 总体X的密度为 f ( x ) , 0 x .

总体X的分布函数为 F ( x )

x

Fx( n ) P[ x( n ) x ] P ( x1 x , x2 x , , xn x )

, 0 x .

P ( x1 x ) P ( x2 x ) P ( xn x ) [ F ( x )]n

2013-7-31

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数学点估计

所以 x( n ) 的密度函数为概 率 论 与 数 理 统 计

d [ F ( x )]n x n 1 1 n 1 n[ F ( x )] f ( x ) n( ) ,0 x . dx Ex( n )

0

x n( )

x

n 1

1

n( )ndx dx 0

x

n 1 n 1 n x 0 n n 1 n 1

即 似 x( n )不是 的无偏估计. 注: 矩 2 x 是 的无偏估计.2013-7-31 皖西学院 数理系 14

数学点估计

三、有效性 无偏估计只涉及到一阶矩(均值),虽然计算概 率 论 与 数 理 统 计

简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计有

多个，而无法确定哪个估计量好。那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计 量的观察值更集中地接近在真实值的附近，即 估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近。 而方差是反映随机变量取值的分散程度，所以

无偏估计以方差最小者为最好、最合理。2013-7-31 皖西学院 数理系 15

数学点估计

定义 : 设 1 1 ( X 1 , X 2 , , X n )和 2 2 ( X 1 , X 2 , , X n ) 都是 的无偏估计, 若有 D( 1 ) D( 2 ), 概 则称 1 比 2 有效. 率 论 与 例6. 设x1 , x2 , , xn是来自总体X的样本, 则 1 x1 , 2 x 数 理 都是 的无偏估计,即 E ( 1 ) E ( 2 ) . 统 1 2 计 2

由于 D( 1 ) , D( 2 ) 所以 2 比 1 有效.

n

,

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数学点估计

概 率 论 与 数 理 统 计

例7. 设总体X U (0, ), 似 x( n ) . n E ( x( n ) ) (见例5), 即 似不是 的无偏估计. n 1 1 n 1 似 则是 的无偏估计. 而修正后的 n 虽然 矩 2 x 是 的无偏估计, 但由于D( 1 ) D( 矩 ), 所以 1比 矩有效. 矩 ) 4 D( X ) 4 , D( n 12 3n n 2 n 1 2 n , ) 2 D( 1 ) ( 2 n( n 2) n ( n 1) ( n 2)2 2

一般地，最大似然估计量比矩法估计量更优

良。2013-7-31 皖西学院 数理系 17

数学点估计

四、均方误差在某些场合，有偏估计未必是不好的估计.概 率 论 与 数 理 统 计

在样本容量一定时，评价估计好坏的度量指标是 点估计 与参数 的距离函数. 常用的函数是距离的平方，即给出均方误差的概念.2 定义如下： MSE ( ) E ( )

注：均方误差是评价点估计的最一般的标准。 均方误差=点估计的方差+偏差的平方2013-7-31 皖西学院 数理系 18

数学点估计

均方误差=点估计的方差+偏差的平方 MSE ( ) E ( )2 E[( E ) ( E )]2概 E ( E )2 2 E[( E )( E )] E ( E )2 率 论 D( ) E ( E )2 . 与 数 2 理 注：当 是 的无偏估计时，E ( E ) 0, 统 这时，MSE ( ) D( ). 计

如果 不是 的无偏估计，即E ( E )2 0, 但MSE ( )比较小时，则 仍是 的一个优良的估计.2013-7-31 皖西学院 数理系 19

数学点估计

比较估计的优良性： 1概 率 论 与 数 理 统 计

2

1

2

1

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2 20

数学点估计

例8 设总体X U (0, ), 的极大似然估计是x( n ),

概 率 论 与 数 理 统 计

n 1 x( n )为无偏估计； 是有偏估计. 修正后的 1 n n 2 而 2 x( n )是 的有偏估计. n 1

由于 MSE ( 1 ) D( 1 )

2n( n 2)

;

MSE ( 2 ) D( 2 ) ( E 2 ) 2

2( n 1)

2

MSE ( 1 ).

所以，有偏估计 2 优良于无偏估计 1 .2013-7-31 皖西学院 数理系 21

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