一元二次方程根的分布情况归纳总结(2013.07.22)

2ax bx c 0根的分布情况 一元二次方程

设方程ax bx c 0 a 0 的不等两根为x1,x2且x1 x2，相应的二次函数为f x ax2 bx c 0，

2

方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

需满足的条件是

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m,n 外，即在区间两侧x1 m,x2 n，（图形分别如下）

f m 0 f m 0

（1）a 0时， ； （2）a 0时，

f n 0 f n 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在 m,n 内有以下特殊情况：

1 若f m 0或f n 0，则此时f m f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n 内，从而可以求出参数的值。如方程mx m 2 x 2 0

2

在区间 1,3 上有一根，因为f 1 0，所以mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根为得

22

，由1 3mm

2

m 2即为所求； 3

2 方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n 内，即 0，此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x2 4mx 2m 6 0有且一根在区间 3,0 内，求m的取值范围。分析：①由f 3 f 0 0即1532

；②由 0即16m 4 2m 6 0得出m 1或m ，当142

33

m 1时，根x 2 3,0 ，即m 1满足题意；当m 时，根x 3 3,0 ，故m 不满足题意；

22

15

综上分析，得出 3 m 或m 1

14

14m 15 m 3 0得出 3 m

函数与方程思想：若y=f(x)与x轴有交点x0 f(x0)=0 若y=f(x)与y=g(x)有交点(x0，y0) f(x)=g(x)有解x0。

根的分布练习题

例1、已知二次方程 2m 1 x 2mx m 1 0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

2

解：由 2m 1 f 0 0 即 2m 1，从而得 m 1 0

例2、已知二次函数y m 2 x2 2m 4 x 3m 3 与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数

1

m 1即为所求的范围。 2

m的取值范围。

解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2m 1 0 2 m

1

即为所求的范围。 2

例3、已知二次方程mx2 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。 解：由题意有方程在区间 0,1 上只有一个正根，则f 0 f 1 0 4 3m 1 0 m 求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 0,1 内，由 0计算检验，均不复合题 例4.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围

xx

1.若方程4 (m 3) 2 m 0有两个不相同的实根，求m的取值范围。

xx

2.已知函数y 4 m 2 1有且只有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点

2

3.关于x的一元二次方程x 2ax a 2 0，当a为何实数时： （1）不同两根在 1,3 之间

（2）有一个根大于2，另一个根小于2 （3）在 1,3 内有且只有一解

4.已知a是实数，函数f(x) 2ax 2x 3 a.如果y f(x)在区间 1,1 上有零点，求a的取值范围

2

1

即为所3

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