华中师范大学《数学通讯》20115发表(2)

【点评】该题紧扣数列中项的对称特征，由特殊到一般，步步为营，前两问灵活考察了等差数列的通项公式及前n 项和公式，最后一问在第二问对项的对称理解的基础上，融入等比数列的考察，较好的渗透分类讨论的思想。无论从知识考察的广度，还是思维层次的深度都有较好的体现。

五、利用排列中元素位置的对称性

例8 （2007年山东高考模拟题）由数字1、2、3、4、5、6 组成所有可能的没有重复数字的四位数，它们的和是

【解析】：本题容易使解题者产生用列举法解题的念头，由于合乎要求的四位数多达(6×5×4×3)=360个，可见这种想法是行不通的。

通过观察我们发现，这列数从小到大依次是： 1234，1235，1236，……，6541，6542，6543。此数列具有一定的对称性：1234+6543=1235+6542=1236+6541=……=7777。显然，所有四位数的和为(360/2)×7777=1399860。

【点评】

六、利用式子结构形式的对称

例9（2004年江苏数学竞赛题）已知方程组22x y z x y z m ?+=?++=?，有唯一的一组解（x,y,z ），

求实数m及原方程组的解。

【解析】：方程组是关于x,y对称的，若（x,y,z）是一组解，则（y,x,z）显然也是方程组的一组解。由方程组有唯一解

知x=y。故原方程组可化为

2

2

2

x z

x z m

?=

?

+=

?

，消去z得。由△=0得

1

2

m=-故原方程组的解是

111

,,

222

??

--

?

??

【点评】某些数学命题所涉及的数式是呈现对称的结构，若能围绕它展开联想性思维，则能帮助我们发现解题捷径。

总之，在数学解题中，我们要用对称的眼光去审视问题，深入挖掘题中潜在的对称性，不仅为解决数学问题提供一种新的捷径，而能让学生体会数学的对称美。使学生在“美”的情境中，激发学习兴趣，发展思维能力，增强创新意识。

10/24/2010

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