高三一轮复习三角函数专题,含答案,教师版

(II)m n ?=4k sin A +cos2A ．

=-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π

)

设sin A =t ,则t ∈]1,0(.

则m n ?=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(.

∵k >1,∴t =1时,m n ?取最大值.

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用心 爱心 专心 - 2 - 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =2

3. 3 ．在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin

=++C B A . I.试判断△ABC 的形状;

II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.

【解析】:I.)4

2sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2

242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等

号, 此时面积的最大值为()24632-.

4 ．在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,4

3cos =A , (1)求B C cos ,cos 的值;

(2)若2

27=?,求边AC 的长? 【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-?=-==A A C 4

7sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由 ()16

9814387347cos cos sin sin cos cos =?-?=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,2

27cos ,227=∴=∴=

?ac B ac ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=6

2516

9483616cos 2222=?-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5. 5 ．已知在ABC ?中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.

(Ⅰ)求)tan(B A +的值;

(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.

【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652

=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==. ∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123

+==--?

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 3 - (Ⅱ)∵ 180=++C B A ,∴)(180B A C +-= .

由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,

∵C 为三角形的内角,

∴sin 2C =

∵tan 3A =,A 为三角形的内角,

∴sin A =,

由正弦定理得:sin sin AB BC

C A =

∴2

BC ==6 ．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为

a 、

b 、

c ,向

量(2s i n 3m B =,2cos 2,2cos 12B

n B ??=- ???,且//m n ?

(I)求锐角B 的大小;

(II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值?

【解析】:(1) //m n ? 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B

?2sinBcosB=-3cos2B ? tan2B=- 3

∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3

(2)由tan2B =- 3 ? B=π3或5π6

①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)

∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=3

4ac ≤ 3

∴△ABC 的面积最大值为 3

②当B=5π

6时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立)

∴ac≤4(2-3)

∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3

∴△ABC 的面积最大值为2- 3

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 4 - 7 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21

222ac b c a =-+

(1)求B C

A 2cos 2sin 2++的值;

(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.

【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=14

2sin 2A C

++cos2B= 41

-

(2)由.415

sin ,41

cos ==B B 得 ∵b =2,

a 2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315

(a =c 时取等号)

故S △ABC 的最大值为315

8 ．已知)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )

2sin()

4sin(?-+的值? 【解析】a a

-12;

9 ．已知()()()

()

3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπα

αππαααπ??-?+?+ ???=??

??

-?+?- ? ?????

(I)化简()f α

(II)若α是第三象限角,且31

cos 25π

α??-= ???,求()f α的值?

【解析】

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- 5 -

10．已知函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;

(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?

【解析】

:(1)1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=+++

132cos 22223sin(2).62x x x π=

++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ=

= 由题意得222,,262k x k k Z π

π

π

ππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z π

π

ππ-≤≤+∈

()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ??-+∈???

? (2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移

12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32

个单位长度, 就得到3sin(2)62

y x π=++的图象? 11．已知???

? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x b ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间?

(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值?

【解析】:(1))3

4sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 6 - ∴当]223,22[34ππ

ππ

π

πk k x ++∈-时,)(x f 单调递减

解得:]8322

,8310

[k k x ++∈时,)(x f 单调递减?

(2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴???

???--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g

???

??+=???

???--=34cos 3342sin 3πππππx x

∵]34,0[∈x ∴??????∈+32,334πππ

πx ∴]21

,21[34cos -∈??? ??+ππx

∴0=x 时,23

)(max =x g

12．已知cos 2sin αα=-,求下列各式的值; (1)2sin cos sin 3cos αα

αα-+;

(2)2sin 2sin cos ααα+

【解析】:1

cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-Q (1)121

2sin cos 2tan 1

421sin 3cos tan 35

3

2αααααα???-- ?--??===-++-+ (2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos ααα

ααααα++=+

2

22

2112tan 2tan 3

22tan 1511

2ααα??

??

-+?- ? ?+????

===-+??

-+ ???

13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()

f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期;

(II)求使不等式3

()2f x ≥成立的x 的取值集合?

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用心 爱心 专心 - 7 - 【解析】

14．已知向量)1,32(cos --=αm ,)1,(sin α=,m 与为共线向量,且]0,2

[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求α

ααcos sin 2sin -的值.?【解析】:(Ⅰ) 与为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =?--?-

∴αα, 即3

2cos sin =+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,9

72sin -=∴α 2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,

916)32(

2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[π

α-∈ ,0cos sin <-∴αα,3

4cos sin -=-αα 因此, 12

7cos sin 2sin =-ααα 15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶?测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,0

30,

于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=0.1km ?试探究图中B,D

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家 用心 爱心 专心 - 8 - 间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果精确到

≈

≈2.449)

【解析】:在ACD ?中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,

所以CD=AC=0.1

又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,

故CB 是CAD ?底边AD 的中垂线,所以BD=BA

在ABC ?中,ABC

AC BCA AB ∠=∠sin sin , 即AB=20

62351sin 60sin +=??AC 因此,km 33.020623≈+=

BD 故 B ．D 的距离约为0.33km ?

16．已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈(其中0,0,02A π

ω?>><<)的图象与x 轴的交点

中,相邻两个交点之间的距离为2

π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122

x ππ∈,求()f x 的值域. 【解析】： (1)由最低点为2(,2)3

M π-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2

π,即T π=,222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133

ππ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126

k π?π∴=- 又(0,),,()2sin(2)266

f x x πππ??∈∴==+故 (2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈　　　　 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266

x ππ+= 即2

x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2] 17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知

50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C

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- 9 - 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值?

【解析】:作//DM AC 交BE 于N ,交CF 于M

.

DF ==

130DE ==

,

150EF ===

在DEF ?中,由余弦定理,

22222213015010298

16

cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-?∠===???

18．已知51

cos sin =+θθ，),2(ππ

θ∈，

求（1）sin cos θθ-（2）33sin cos θθ-（3）44sin cos θθ+

【解析】：（1）33447

91

337

sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+=

19．已知函数)sin(?ω+=x A y （0>A ， 0ω>，π?<||）的一段图象

如图所示，

（1）求函数的解析式；

（2）求这个函数的单调递增区间。

【解析】：（1）由图象可知： 3

22288T T ππ

ππω??

??

=--=?== ???????；()

2222A --==

∴()2sin 2y x ?=+ ，又∵28π

??- ???，为“五点画法”中的第二点 ∴32824πππ?????-+=?= ??? ∴所求函数解析式为：32sin 24y x π??

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