十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题10立体几何与空间向量解答题(理)(含解析)(2)

（1）证明：1//CB 面1A EF ；

（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）

52929

. 【解析】 解：（1）连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ．

因为11AGA B GE ??:，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC

=，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ， 又1CB ?面1A EF ，FG ?面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .

（2）过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点． 因为面CAB ⊥面11ABB A ，面CAB I 面11ABB A AB =，所以CO ⊥面1ABA ．连接1OA ， 因为1ABA ?是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.

如图以O 为原点，OA u u u v ，1OA u u u r ，OC u u u r 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标，

不妨设2AB =，则(1,0,0)A ，13,0)A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，1

2(,0,)33

F ， 由11AA BB =u u u v u u u v ，得(3,0)B -，1BB 的中点33(,22E -，133(,,0)22

A E =--u u u r ，112(,3,)33A F =--u u u u r . 设面1A FE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u v ，则111100A E n A F n ??=???=??u u u v u v u u u u v u v ，即1111230333302

2x y z x y ?+=????--=??， 得方程的一组解为111135x y z =-??=??=?1(13,5)n =-u r .

面1ABA 的一个法向量为2(0,0,1)n =u u r ，则1212

12

529cos ,n n n n n n ?<>==u r u u r u r

u u r u r u u r ， 所以二面角1F A E A --的余弦值为52929.

2．如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，EF P 平面ABCD ．

（1）求证：平面ACF ⊥平面BDF ；

（2）若60CBA ∠=?，求二面角A BC F --的大小．

【答案】(1)见证明；(2)

4π 【解析】

（1）∵菱形ABCD ，∴AC BD ⊥，

∵FD ⊥平面ABCD ，∴FD AC ⊥，

∵BD FD D ?=，∴AC ⊥平面BDF ，

∵AC ?平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BDF ．

（2）设AC BD O =I ，以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，

过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，

则(3,0,0)B ，()0,1,0C -

，(3,0,3)F -，

(3,1,0)BC =--u u u r ，(23,0,3)BF =-u u u r ，

设平面BCF 的法向量(,,)n x y z =r

， 则302330

n BC x y n BF x z ??=--=???=-+=??u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1,3,2)n =-r ， 平面ABC 的法向量(0,0,1)m =u r ，

设二面角A BC F --的大小为θ，

则||2cos ||||28

m n m n θ?===?r r r r ， ∴4π

θ=．

∴二面角A BC F --的大小为4

π． 3．如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形1111ADD A CDD C ，为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.

（Ⅰ）证明：11B C ⊥平面1CC E ； （Ⅱ）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

7

. 【解析】 （Ⅰ）因为11B A ⊥平面11ADD A ， 所以111B A DD ⊥，

又11111111DD D A B A D A A ⊥?=，， 所以1DD ⊥平面1111D C B A ， 又因为11//DD CC ，

所以1CC ⊥平面1111D C B A ，11B C ?平面1111D C B A ，所以111CC B C ⊥， 因为平面11ADD A ⊥平面11CDD C ， 平面11ADD A ?平面111CDD C DD =， 111C D DD ⊥，

所以11C D ⊥平面11ADD A ，

经计算可得1111B E BC EC == 从而2221111B E B C EC =+，

所以在11B EC V 中，111B C C E ⊥， 又11CC C E ?，平面1111CC E CC C E C ?=，， 所以11B C ⊥平面1CC E .

（Ⅱ）如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()10001,0,00,2,2A C B ，

，，，， ()()11,2,10,1,0C E ，.

∵1(1,1,1)(1,2,1)CE B C =--=--u u u r u u u r ，，

设平面1B CE 的一个法向量(,,)m x y z =

则100m B C m CE ??=??=?

u u u v u u u v ，， 即200x y z x y z --=??-+-=?，，

消去x 得20y z +=， 不妨设1z =，可得()3,2,1m =--，

又()111,0,1B C =-u u u u r ，

设直线11B C 与平面1B CE 所成角为θ， 于是111111

427sin cos ,142||m B C m B C m B C θ?-===

=??u u u u r u u u u r u u u u r ， 故直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值为77

. 4．如图，在四凌锥P ABCD -中，PC ABCD ⊥底面，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∥，222AB AD CD ===,4PC =,E 为线段PB 上一点

（1）求证：EAC PBC ⊥平面平面；

（2）若二面角P AC E --的余弦值为63，求BE BP 的值

【答案】（1）见解析（2）13BE BP = 【解析】 （1）如图，由题意，得2AC BC ==，且2AB =，∴BC AC ⊥ ∵ABCD PC ⊥底面，∴PC AC ⊥ 又∵PC BC C ?=，∴AC ⊥底面PBC

∵AC ?平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC

（2）如图，以C 为原点，取AB 中点M ，以CM ，CD ，CP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系

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