立体几何(解答题)-三年(2017-2019)高考真题数学专题(2)

（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；

（2）求证：PA ⊥平面PCD ；

（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3

【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =，BH DH =.

又由BG=PG ，故GH PD ∥.

又因为GH ?平面P AD ，PD ?平面P AD ，

所以GH ∥平面P AD .

（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，

又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，

所以DN ⊥平面P AC ，

又PA ?平面P AC ，故DN PA ⊥.

又已知PA CD ⊥，CD DN D =，

所以PA ⊥平面PCD .

（3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角，

因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点，

所以DN =又DN AN ⊥，

在Rt AND △

中，sin DN DAN AD ∠==

18 所以，直线AD 与平面P AC

所成角的正弦值为3

.

【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.

6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．

求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；

（2）BE ⊥C 1E ．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，

所以ED ∥AB .

在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，

所以A 1B 1∥ED .

又因为ED ?平面DEC 1，A 1B 1 平面DEC 1，

所以A 1B 1∥平面DEC 1

.

19 （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .

因为三棱柱ABC ?A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .

又因为BE ?平面ABC ，所以CC 1⊥BE .

因为C 1C ?平面A 1ACC 1，AC ?平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，

所以BE ⊥平面A 1ACC 1.

因为C 1E ?平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .

【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?，

11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

35

． 【解析】方法一： （1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．

又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ?平面A 1ACC 1，

平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，

所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．

又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．

所以BC ⊥平面A 1EF ．

因此EF ⊥BC ．

20

（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上． 连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）． 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E

，EG

由于O 为A 1G

的中点，故12A G EO OG === 所以222

3

cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==?．

因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是3

5．

方法二：

（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ?平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ． 如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．

不妨设AC =4，则

21 A 1（0，0，

B

1，0

），1B

，3,22

F ，C (0，2，0)．

因此，33(,

22

EF =，(BC =． 由0EF BC ?=得EF BC ⊥．

（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．

由（1）可得1=(310)=(02BC AC --，，，，，

． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，

， 由100BC A C ??=???

=??

n n ，得00

y y ?+=??

=??， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5

|||EF EF EF θ?==?，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为

35． 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.

8．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC

为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．

（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23

BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．

【答案】（1）见解析；（2）1.

【解析】（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．

又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．

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