甘肃省兰州高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

兰州一中2016-2017-1学期期末考试试题

高二数学（理）

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100

分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．

.） 1. 命题p : 对? x ∈R ，x 3-x 2+1≤0，则?p 是（ ）

A.不存在x ∈R ，x 3-x 2+1≤0

B. ? x ∈R ，x 3-x 2+1≥0

C. ? x ∈R ，x 3-x 2+1>0

D.对? x ∈R ，x 3-x 2+1>0

2. 抛物线y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是（ ）

A.4

B.8

C.16

D.32

3. 若a 、b 为实数, 且a +b =2, 则3a +3b 的最小值为（ ）

A ．6

B ． 18

C ．23

D ．243

4. 椭圆24

x +y 2=1的焦点为F 1、F 2，经过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为P ，则|2PF uuu r |等于（ ）

A.

B. C.72

D.4 5．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ）

A ．－21＜x ＜3

B ．－21＜x ＜0

C ．－3＜x ＜21

D ．－1＜x ＜6

6． 过双曲线22

1169

x y -=左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF D （F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．12

7．已知空间四边形ABCD 中，OA a OB b OC c ===，

，，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ）

A ．c b a 213221+-

B ．c b a 2

12132++- C ．212121-+ D ．2

13232-+

8．已知双曲线22

221x y a b

-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A. 2233125100x y -= B. 221205x y -= C. 221520x y -= D. 22

33110025

x y -= 9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ?=（ ）

A ．0

B ．21

C ．43-

D ．2

1- 10. 椭圆上22

221(0)x y a b a b

+=>>一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[

,]124ππα∈，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A

．

B.

C. D.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．

.） 11. 已知a ＝(1,2，-y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a -b )，则x +y = ．

12. 已知y x ,满足43035251x y x y x -+≤??+≤??≥?

，则z =2x -y 的最小值为 .

13. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19

362

2=+y x 所截得的线段的中点，直线l 的方程为 ．

14．设双曲线2

222b y a x -=1（0＜b ＜a ）的半焦距为c ，直线l 经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线l 的距离为4

3c ，则双曲线的离心率为 .

兰州一中2016-2017-1学期期末考试答题卡

高二数学（理）

一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

二、填空题（每小题4分，共16分）

11．；12．；

13．；14． .

三、解答题（本大题共5 小题，共44分）

15.（本小题8分）

己知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列.

求证：a2+b2+c2>(a-b+c)2.

16．（本小题8分）

已知命题p :函数y =x 2+mx +1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ：对函数y =-4x 2+4(2- m )x -1, y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．

17．（本小题8分）

如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1B 1中，AA 1=2AB =2AD =4，点E 在CC 1上且C 1E =3EC ．利

用空间向量解决下列问题： （1）证明：A 1C ⊥平面BED ；

（2）求锐二面角A 1-DE -B

的余弦值．

A B

C D E A 1 B 1

C 1

D 1

18．（本小题10分）

已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|

=3.求?AMN

的面积．

19. (本小题10分)

如图所示，O 为坐标原点， A 、B 、C 是椭圆上的三点，点A (2,0)是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且AC BC ?=0，|BC |=2|AC |．

(1)求椭圆方程；

(2)如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO .

证明：存在实数λ，使PQ AB λ=． A B C y x

兰州一中2016-2017-1学期期末考试参考答案

高二数学（理）

一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（每小题4分，共16分）

11．-72； 12．-125

； 13．082=-+y x ； 14

三、解答题（本大题共5 小题，共44分）

15.（8分）证明：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac

∵a ，b ，c 都是正数，c a c a ac b +<+≤=<∴2

0 ∴a +c >b , ……………………………4分

∴a 2+b 2+c 2-(a -b +c )2=2(ab +bc -ca ）=2(ab +bc - b 2）=2b (a +c -b )>0

∴ a 2+b 2+c 2>(a -b +c )2. ……………………………8分

16．（8分）解：若函数y =x 2+mx ∴m ≥2，即p ：m ≥2 ……………………………2分

若函数y =-4x 2+4（2- m ）x -1≤0恒成立，则△=16（m -2）2-16≤0，

解得1≤m ≤3，即q ：1≤m ≤3 ……………………………4分

∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假

当p 真q 假时，由213m m m ≥??<>?

或 解得：m >3 ……………………………6分 当p 假q 真时，由213m m

解得：1≤m <2 综上，m 的取值范围是{m |m >3或1≤m <2} …………………………8分

17．（8分）解：（Ⅰ）证明：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系D xyz -．

依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(2

04)AC DA =--=，，，，，． 因为10AC DB =，1

0AC DE =，故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D =，所以1

AC ⊥平面DBE ．……………………………4分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则

DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．

令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．……………………………6分

42

14==．

所以二面角1A DE B --

．……………………………8分 18．（10分）解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.

故抛物线方程为y 2＝4x ，准线为x ＝-1. ……………………………3分

(2)设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，

由???

y ＝－2x ＋t y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. ∴y 1+y 2=-2, y 1y 2=-2t, ……………………………5分 ∵直线l 与抛物线C 有公共点，∴Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12

. 由|MN |

得t =4， ……………………………8分 又A 到直线l 的距离为d

……………………………9分

∴?AMN 的面积为S =12

|MN |﹒d=6. ……………………………10分 19. (10分

2

21y b

=(0)a b >>，则a =2 由AC BC ?=0， |BC |=2|AC |得?AOC 为等腰直角三角形，∴C (1，1)，代入得b

2

314

y +=. ……………………………4分 （2）证明：设PC 斜率为k ,则QC 斜率为-k ，、

∴直线PC 的方程为y =k (x -1)+1, 直线Q C 的方程为y=-k (x -1)+1,

由221)13=4

y k x x y =-+??+?( 得（1+3k 2）x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0. ……………………5分 又x C =1, 且x C x P =2236131k k k --+，∴x P =2236131

k k k --+, 同理x Q =223+6131k k k -+ …………7分

2222(31)213112331

k k k k k k --+==-+.…………9分 所以//PQ AB λ，即一定存在实数λ，使PQ AB λ=．……………………10分

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