分类讨论思想在数学解题中的应用

分类讨论思想在数学解题中的应用

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是高考考查的重点和热点问题。也是学生感到棘手的问题，之所以感到困难，因为对于分类讨论本身而言，如何想到该分类讨论，如何确定分类的标准进行合理分类就是一个比较难的事。分类讨论思想的类型常见的有以下方面：⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的。学生在处理分类讨论问题时，有的不知道分类，有的知道分类但找不到分界点，有的讨论过程中有重复和遗漏，有的讨论之后不会归纳总结，下面结合一选修1-1教学案例，谈谈我在这方面的教学体会。

例1、已知函数，讨论函数的单调区间。

解：

函数的定义域是，

由得，因为，所以

讨论①当时，，；

②当时，恒成立，所以时，

由得，因为，所以

讨论③当时，；

④当时，不等式不成立，无解。

综上所述：当时，在区间上单调递增，在区间

上单调递减；当时，在区间上单调递增。

求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号．

解答过程的难点在于分类讨论，为什么要以零为界对进行分类？由得出这一步，由于这是解关于的一元一次不等式，要解出必须同除以系数，当为正数时不改变不等号的方向，当为负数时改变不等号的方向，因此要对系数以零为界分类讨论。解这类题首先应注意函数的定义域；其次知识上不能有漏洞，不等式的概念和性质要清晰；再把条件想全，注意各条件之间的关系；然后列出不等式组，解不等式的过程中要合理变形，把握好讨论的时机，合理分类，一类一类的去解决，最后注意归纳总结。

我的体会是对含字母的问题，首先弄清是解谁为元的不等式，把字母看作常数，不能急于讨论，正常的运算，进行到字母取不同数值时有不同的结果时，按一个方向进行时就出错了，讨论的时机到了，讨论时再把字母看作变数来处理，确定好界点，分好类，一类一类的讨论，自然而然的解题就可以了。

对此现象，引起了我的思考。对分讨论问题，有的学生不知道为什么要分类讨论，有的同学知道需要分类讨论；但分类讨论的时机和分界点的确定把握不好；有的同学在分类过程中有重复和遗漏；有的同学分类讨论之后不善于归纳总结。面对解含字母的不等式，学生之所以不会分类讨论，原因是对不等式的概念和性质不清晰。因此要解决好分类讨论问题，必须重视对数学概念、定理、公式、法则的系统学习和掌握。在概念教学上，教师应重视概念的形成过程，从具体事例出发，感知体验，到抽象概括出本质属性得出概念，再应用概念解决问题，建立形成概念的体系；在问题教学上，教师应设计有层次性

的问题，在解决问题的过程中注意培养学生逻辑思维和规范表述，解题之后再回到概念、定理、公式上来，从而透彻的理解和掌握数学知识。教师应始终重视学生数学的基础知识、基本技能和基本方法的培养，注重提高学生的数学思维能力，不断增强学生的数学素养，使学生能站在更高的角度上去分析问题和解决问题。

对分类讨论思想，在高一学习函数、方程和不等式中做一些初步尝试，在高二学习解析几何、导数时重点渗透。

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