新教材人教A版高中数学必修第一册1.5.1全称量词与存在量词精品学(2)

高线、中线重合．

其中全称量词命题是 _______ ．

[ 解析] ①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．

[ 答案] ①②④

8 2 2

8．四个命题：①? x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②? x∈Q，x2＝2；③? x∈R，x2＋1＝0；④? x∈R, 4x2>2x －1＋3x2. 其中真命题的个数为．

[解析] ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝± 2时，x2＝2，而± 2为无理数，故②为假命题；③因为x 2＋1>0( x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即( x －1) 2>0，当x＝1时( x－1) 2＝0，故④为假命题．[ 答案] 0

三、解答题

9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．

(1) 存在x，使得x－2≤0；

(2) 矩形的对角线互相垂直平分；

(3) 三角形的两边之和大于第三边；

无理数，而( 2) 2＝2不是无理数，所以C为假命题．

[ 答案] A

二、填空题

6 ．“任意一个不大于0 的数的立方不大于0”用“ ? ”或“ ? ”符号表示为

[ 解] (1) 存在量词命题．如 x＝2 时， x－2＝0 成立，所以是真命题．

(2) 全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．

(3) 全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．

(4) 存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数” 是真命题．

10．用量词符号“ ? ”“ ? ”表述下列命题，并判断真假．

(1) 所有实数 x都能使 x910＋x＋1>0 成立；

(2) 对所有实数 a， b，方程 ax＋ b＝0 恰有一个解；

(3) 一定有整数 x，y，使得3x－2y＝10 成立；

1 2 1

(4) 所有的有理数 x 都能使3x2＋2x＋1 是有理数．

[ 解] (1) ? x∈R，使 x2＋x＋1>0；真命题．

(2) ? a，b∈R，使 ax＋b＝0 恰有一解；假命题．如当 a＝0，b＝0 时，该方程的解有无数个．

(3) ? x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题．

1 2 1

(4) ? x∈Q，使3x2＋2x＋1 是有理数；真命题．

综合运用11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )

A．对任意的 a，b∈R，都有 a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等

C．? x∈R， x2＝ x

D．平面内，不相交的两条直线是平行直线

[ 解析] A中的命题是全称量词命题，但是 a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1) 2＋(b－1) 2≥0，

故是假命题； B 中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C中的命题是全称量词命题，但

x2 ＝| x| ，故是假命题；很明显D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选 D.

9 2 1 2

B．? x∈R，ax －bx≤ax0－bx0

22

[ 答案] D

12．已知 a>0，则“ x0满足关于 x 的方程 ax＝b”的充要条件是( )

1 2 1 2

A．? x∈R，2ax －bx≥2ax0－bx0

1 2 1 2

C ．? x ∈R ，2ax 11－bx ≥ 2ax 2

0－bx 1 2 1 2 D ．? x ∈R ，2ax －bx ≤ 2ax 0－bx 0

12

－bx ≥ 2ax 02

－bx 0，故选 C. [ 答案 ] C

22

13．已知函数 y ＝x 2＋bx ＋c ，则“ c <0”是“ ? x 0∈ R ，使 x 20＋bx 0＋c <0”的 （ ） A ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 2 2 2 2

[ 解析 ] ? x 0∈ R ，使 x 20＋ bx 0＋ c <0 的充要条件是 x 02＋bx 0＋c <0有解，即 b 2－

4c >0,4c

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