上海市2016_2017学年高二数学下学期期中试卷(含解析)(2)

-11-圆柱的侧视图与主视图一样，符合题意，

圆锥的侧视图与主视图一样，符合题意，

四棱柱侧视图与主视图一样，符合题意，

故符合题意的有（2）（3）（4）三个，

故选A．

16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x 2+y 2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）

A．{2}∪（4，+∞）

B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）【考点】J8：直线与圆相交的性质．

【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x 2+y 2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O 与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O 作OC⊥AB，由三角形AOB 为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC 为斜边AB 的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC 的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O 半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．

【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x 2+y 2=λ的图象，如图所示，当AB 与圆O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O 作OC⊥AB，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2

，

∴OC=AB=，此时λ=OC 2=2；

当圆O 半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，

综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．

故选A

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-12

-三、简答题

17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，

（1）求点P 的轨迹C

（2）点A（3，1），P 在曲线C 上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P 的坐标．

【考点】IW：与直线有关的动点轨迹方程．

【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C 的方程；

（2）要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F 三点共线，此时点P 为直线AF 与抛物线的交点即可

【解答】解：（1）（1）设P（x，y），

∵动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，∴，整理得x 2

=8y ∴点P 的轨迹C 是以原点为顶点，对称轴为y 轴的抛物线．

（2）如图，要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F 三点共线，

此时点P 为直线AF 与抛物线的交点．

直线AF 方程：x+3y﹣6=0由得P（

，）

|PA|+|PF|的最小值为．

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-13

-18．在长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=3，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个

角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A 1C 1D 1．

（1）若A 1C 1的中点为O 1，求异面直线BO 1与A 1D 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点D 到平面A 1BC 1的距离

d．

【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角．

【分析】（1）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求

出

．利

用空间向量的连结求解异面直线BO 1与A 1D 1所成的角．

（2）求出平面ABD 的法向量．通过空间向量的距离公式求解即可．

【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．（理科）解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D（0，0，0）、B（2，2，0）、D 1（0，0，3）、A 1（2，0，3）、C 1（0，2，3）．

由O 1是A 1C 1中点，可得O 1（1，1，3）．

于是

，

．

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-14-设异面直线BO 1与A 1D 1

所成的角为θ，则

．

因此，异面直线BO 1与A 1D 1

所成的角为

．

（2）设是平面ABD 的法向量．∴又，

∴取z=2，可

得即平面BA 1C 1的一个法向量

是

．∴=

．

19．复数z 满足

z

+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】设z=a+bi （a，b∈R），

则

，代入

z +（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a+1）2+（b+2）2=8．则z 在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，

以

为半径的圆．数形结合求|z|的最大值．

【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R）

，则

，代入

z

+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得

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-15-（a 2+b 2

+2a+4b）+（b﹣2a﹣b+2a）i=3，

即a 2+b 2+2a+4b=3，化为（a+1）2+（b+2）2=8．

∴z 在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以

为半径的圆．

∴|z|=

，

则|z|的最大值为

．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R

（1）直线过定点P，求点P 坐标；

（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设三角形OAB 的面积为4，求出直线l 方程．

【考点】IO：过两条直线交点的直线系方程．

【分析】（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0

可得直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）

（2）令y=0，得

A（﹣

）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB 的面积为

s=

==4，解得k

【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0

∴直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）

∴P（﹣2，1）．

（2）∵直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，

∴k＞0

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-16-令y=0，得

A（﹣

）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB 的面积为s=

==4

解得

k=

∴直线l

方程为：x﹣2y+4=021．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l 与椭圆C 相交于A、B 两点．设点P（4，3），记PA、PB 的斜率分别为k 1和k 2．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）如果直线l 的斜率等于﹣1，求出k 1?k 2的值；

（3）探讨k 1+k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1+k 2

的取值范围．

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．

（2）直线l：y=﹣x+1，设AB

坐标，联立利用韦达定理以及斜率公

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-17-式求解即可．

（3）当直线AB 的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．

【解答】解：（1）∵a=2，又

c=1，∴

，∴椭圆方程为

…

（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x 1，y 1）B（x 2，y 2），

由消y 得7x 2﹣8x ﹣8=0，

有

，

．…

…

（3）当直线AB 的斜率不存在时，不妨设

A（1，）

，B（1，﹣），则，，故k 1+k 2=2．…

当直线AB 的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x 1，y 1）B（x 2，y 2），由消y 得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+（4k 2

﹣12）=0，

有

，

．…

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