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高中数学常用公式及常用结论

1. 包含关系

AI B A

A I C U B

AU B B A B

R

C U B C U A

C U A U B 2

n

个；真子集有 2n

– 1 个；非空子集有 2

n

2n

2 ．集合个.

3.充要条件 （ 1）充分条件：若

p – 1 个；非空的真子集有

– 2

{ a , a ,L , a } 的子集个数共有 1 2 n q ，则 p 是 q 充分条件 .

p ，则 p 是 q 必要条件 . q

p （ 2）必要条件：若 （ 3）充要条件：若 q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件 .

.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2

a,b , x 1 x 2 那么

f ( x 1 ) x 1 f ( x 1 ) 1 f ( x 2 )

x 2 f ( x 2 ) f (x)在 (x x ) f ( x ) f ( x ) 0 0 a,b 上是增函数； 1 2 1 2 f ( x)在 (x x ) f ( x ) f ( x ) 0

上是减函数 .

a, b 1 2 1 2

x x 2

(2) 设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，如果 f (x)

0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减函

数.

f ( x) 和 g( x) 都是减函数 , 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 5. 如果函数

f (u) 和 u , 则在公共定义域内

; 如果函数

y g (x) 在其对应的定义域上都是减函数

, 则复合函数 y f [ g( x)] 是增函数 .

6．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于

y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么

y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于

a b ; 2

7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 x

两个函

a b 对称 .

2

y

f (x a) 与 y

f (b x) 数 的图象关于直线 x 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) （ 1） f (x)

f (x

a) ，则 f (x) 的周期 T=a ； 1

f ( x) 1 f (x)

( f ( x ) 0) ，或 （ 2）， f ( x a) f (x a) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ；

9. 分数指数幂

m

m

n

1 1

m

a n

a

n

(1)

（ a

0, m , n N a

（ a 0,

m , n N n 1 ） .(2) n 1）

. ，且 ，且 n

a

m

10．根式的性质 a, a 0

a, a a )

n

（ 1） ( n

n

a

n

n a

n

a . （ 2）当 n 为奇数时， a ；当 n 为偶数时， | a |

.

11．有理指数幂的运算性质 a

r

a

s

a r s

( a

(a r ) s

a

b

a rs (a (ab)r

a r

b r

0, r , s Q ) .(2)

(1)

0, r , s 0, a Q) .(3) (a 0, b 0, r Q) .

log a 12. 指数式与对数式的互化式

N

b

N (a 1, N

0) . 0：

log a 1 0 ，③ .底的对数等于 1： log a 1 ， ① .负数和零没有对数，② .1 的对数等于 a M N

(MN ) M log N ，商的对数： ④ .积的对数： log log log log M log N ，

a a a a

a a n

n

n

M

n l og M log a ； log a m b

log a b

m

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幂的对数： a 精选精品

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log m N log m a

13. 对数的换底公式 log N

a 0 , 且 a 1 , m 0 , 且 m 1, N 0 ).

(

a n m

n n

推论 log log a m b s 1 ,

s n b ( a 0, 且 a 1 , 0 , 且 m 1, n 1 , N

0).

m, n a 1

( 数列 { a n } 的前 15. a n

s n

a 1 a 2 L a n ).

n 项的和为 s n 1 , n 2

N *

16. 等差数列的通项公式 a a (n 1)d dn a d (n ) ； n 1 1 n(a 1 a n )

n(n 2

1) d

d 2

1

d ) n . 2

n

2

其前 n 项和公式为 s na (a n

1 1

2 a 1 q

n 1

n

*

17. 等比数列的通项公式 a a q q (n N ) ；

n 1

a (1 q n

) a a q

1 n q

1

, q 1

. , q 1

或 其前 n 项的和公式为 s n 1 s n

1 na 1, q q na 1 , q 1

1

18. 同角三角函数的基本关系式

sin

=

cos

sin

2

cos

2

1 ， tan 19 正弦、余弦的诱导公式

n

1)2 sin n 1

2 ( ,

(n ) n 2

为偶数 sin(

)

( 1) co s ,

(n )

为奇数 20 和角与差角公式 sin( cos( ) sin cos

cos msin tan

tan

sin sin ; ) cos cos ;

tan

1 m tan .

tan(

)

b a

a

2

b 2

asin

b cos sin(

) ( 辅助角 ( a,b) 的象限决定 , tan

= ).

所在象限由点 21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴ sin2 2sin cos

2

cos ． 1 cos 2

2

1 cos 2

2

sin

2

2cos

2

1 2sin

2

（ cos

2

， sin

2

⑵ cos2

1 ）．

2 tan 1 tan

2

⑶ tan2

．

22. 三角函数的周期公式

2

函数 y sin( x ) ，x ∈R 及函数 y cos( x

) ，x ∈ R(A, ω ,

A ≠

0，ω＞ 0) 的周期 为常数， 且 T ；

y

tan( x

) ， , k 2

x k Z T

函数 (A, ω , 为常数，且 A ≠ 0，ω＞ 0) 的周期 .

23. 正弦定理

a sin A

b sin B

c sin C

2 R .

24. 余弦定理

a

2

b 2

c

2

b 2

c 2

a 2

c 2

a 2

b

2

2bc cos A ; 2ca cos B ; 2ab cosC .

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S 1 ab sin C 1 bc sin A 2 1 casin B （2） . 2 25. 面积定理 2

26. 三角形内角和定理

C

2 A B 2 在△ ABC 中，有 A B C C ( A B) 2C 2 2( A B) .

2 27. 实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ ( μ a)=( λμ ) a;(2) 第一分配律： ( λ +μ) a=λ a+μa; (3) 第二分配律：λ ( a+b)= λa+λ b.

28. 向量的数量积的运算律：

(1) a ·b= b · a （交换律） ;(2) 30．向量平行的坐标表示

（ a ）·

b= （ a · b ） = a · b= a ·（ b ）;(3) （a +b ）· c= a · c +b · c. a=( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2 , y 2 ) ，且 设 b 0，则 a P b(b 0) x 1 y 2 x 2 y 1 0 .

31. 与 b 的数量积 ( 或内积 ) a · b=| a || b|cos θ．

a 的方向上的投影 |b|cos θ的乘积．

a 32. 数量积 a ·

b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 33. 平面向量的坐标运算

(1) (2) a= ( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2, y 2 ) ，则 设 设 a+b= (x 1

x 2 , y 1 y 2 ) . y 2 ) . a= ( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2, y 2 ) ，则 a-b= (x 1 x 2 , y 1 u u u r u u u r u u u r A (x 1, y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) , 则 AB OB y) .

OA ( x 2 x 1 , y 2 y 1 ) .

(3) (4) (5) 设 设 a= ( x, y), R ，则 a= ( x, 设 a= ( x 1 , y 1) , b= ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b= (x 1x 2 y 1 y 2 ) .

x 1x 2 2 y 1y 2 2 34. 两向量的夹角 公式 cos ( a = ( x , y ) , b= (x , y ) ).

1 1

2 2 2 2

x y

x y 1 1 2 2 u u u r u u u r AB u uu r AB 35. 平面两点间的距离公式 d A ,B = | AB | 2 2

(x x ) ( y y ) (A ( x , y ) ， B ( x , y ) ). 1 1 2 2 2 1 2 1 36. 向量的平行与垂直

a=( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2 , y 2 ) ，且 b 设 0，则

0 . y 1 y 2 A|| b

b=λ a 0) x 1 y 2 a · b=0 x 2 y 1 x 1 x 2 a b(a 0 .

37. 三角形的重心坐标公式

别 为 A(x 1,y 1) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) , △ ABC 则 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 的 重 心 的 坐 标 是 G( x 1 x 2 3 x 3 , y 1 y 2 3

y 3 ) . 设 O 为 （ 1） O 为 （ 3） O 为 ABC 所在平面上一点，角 A, B,C 所对边长分别为 a, b, c ，则

u u u r u u u r 2 u u u r uu u r OA u u u r OB u u u r OC r 0 . 2 2 ABC 的外心

ABC 的垂心

. （ 2） O 为 ABC 的重心 OA OB OC u u u r uu u r uu u r u uu r u u u r u u u r OA OB OB OC OC OA . 38. 常用不等式：

a 2

b 2 （ 1） a, b R

2ab ( 当且仅当 a ＝b 时取“ =”号) ． a b 2 b （ 2） a, b R

ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取“ =”号) ． a b a a b （ 3） .

39 已知 x, y 都是正数，则有（ 1）若积 xy 是定值 p ，则当 x

y 时和 x y 有最小值 2 p ； 1 s 2 .

4

2 a x y 是定值 s ，则当 x y 时积 xy 有最大值 （ 2）若和 x 2 40. 含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 x .

a a x a .

x 2 a 2 x a x a 或 x a 精选精品 精选学习资料 第 3 页，共 8 页

y 2 x 2 y 1 x 1

41.斜率公式 k （

P (x , y ) 、 P (x , y ) ）.

1 1 1

2 2 2 42.直线的五种方程

（ 1）点斜式 （ 2）斜截式 ( 直线 l 过点 k )． y y y y 2 x a Ax y 1 kx y 1 y 1 y

b By k( x b (b x x 2 x 1 ) P 1 ( x 1, y 1 ) ，且斜率为 为直线 l 在 y 轴上的截距 ). x 1 x 1

（ 3）两点式 ( y y )( P ( x , y ) 、 P (x , y ) ( x x )).

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 ( (4) 截距式 a 、b 分别为直线的横、纵截距， a 、b 0 )

（ 5）一般式 C 0 (其中 A 、B 不同时为 0).

43.两条直线的平行和垂直

(1) 若 l 1 : y (2) 若 l 1 : A 1x k 1 x B 1 y A

1 b 1 ， l

2 : y k 2 x b 2 1 .

① l 1 || l 2 C 2 k 1 0 ,且 k 2 , b 1 b 2 ;② l 1 l 2 k 1k 2 C 1 0 , l 2 : A 2 x B 2 y A 1、A 2、B 1、B 2 都不为零 , B 1 C 1

C 2

① l || l ；② l l A A B B 0 ；

1 2 1 2 1 2 1 2 A 2 C 1 B 2 ( l 1 : A 1 x B 1 y 0 , l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 , A 1 A 2 0 ).

B 1B 2 直线 l 1 l 2 时，直线 l 1 与 l 2 的夹角是 .

2 (点 P(x 0 , y 0 ) ,直线

l ： Ax | Ax 0 By 0 C | 45.点到直线的距离 d By C 0 ).

A 2

B 2 46. 圆的四种方程

（ 1）圆的标准方程 （ 2）圆的一般方程 47. 直线与圆的位置关系

a) 2 y 2 b) 2 Ey r 2

.

F ( x x 2 ( y Dx D 2 E 2 4F ＞ 0).

0 ( a) 2 r Aa b)2 r 2 的位置关系有三种 0 ; 直线 Ax By 相离 C 0 与圆 ( x ( y 相切 Bb : d r 0 ; d C

d d r 相交 0 . 其中 . A 2 B

2 48. 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为 O 1， O 2，半径分别为 r 1， r 2， O 1O 2 d 外离 4条公切线 d r 1 0 r 1 r 2 d r 2 d r 1 d r 1 r 2 外切 r 1 r 2 3条公切线 ; ; 2条公切线 r 1 r 2 r 2 内含 相交 d 1条公切线 内切 ; ; 无公切线 .

49. 圆的切线方程

x 2 y 2 x 2 r 2 ;

y 2 2 ． (1) 已知圆 ①过圆上的 Dx Ey F 0 ．(2) r 已知圆 x x y y P ( x , y ) 点的切线方程为 0 0 0 0 0 x 2

y 2 2 x y a cos

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