高考专用：高考数学总复习精品资料高中数学知识汇总(4)

?????a?b是?acos?a,b????R).

b??????2??23.两非零向量平行(共线)的充要条件a//b?a??b ?(a?b)?(|a||b|) ?x1x2?y1y2?0.

???????? 两个非零向量垂直的充要条件a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x1x2?y1y2?0.

特别：零向量和任何向量共线. a??b是向量平行的充分不必要条件!

4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a=?1e1＋?2e2.

???????? AC共线； 5.三点A、B、C共线?AB、????????????、C共线?存在实数?、?使得：向量PA、 PB、 PC中三终点A、B????????????????1. 且CPA??P?B?P?2?2??????6.向量的数量积：|a|?(a)?a?a，a?b?|a||b|cos??x1x2?y1y2，

??a?b??cos???|a||b|x1x2?y1y2x?y2121x?y2222，

???????a?bxx?y1y2. a在b上的投影?|a|cos?a,b????1222|b|x2?y2??????注意：?a,b?为锐角?a?b?0且a、 b不同向；

??????? b?0； ?a,b?为直角?a?b?0且a、?????? ?a,b?为钝角?a?b?0且a、 b不反向 ????a?b?0是?a,b?为钝角的必要非充分条件.

向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”不满足结合律，即a(b?c)?(a?b)c，切记两向量不能相除(相约).

??????7.||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

???????????注意：a、 b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

???????????a、 b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； ????????a、 b不共线?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.(这些和实数集中类似)

8.平移与定比分点

(1)线段的定比分点坐标公式

????????x??x2y??y2设P（x,y）、P1（x1,y1），P2（x2,y2），且PP，??PP2，则.x?1,y?111??1????????????????MP??MP12. MP?1??特别：分点的位置与?的对应关系.

x1?x2???????????x?????MP?MP12?2， MP?中点坐标公式??P为PP12的中点. ?2?y?y1?y2??2????????????????????????ABACABAC?ABC中，AB?AC过BC边中点；(?????????)?(?????????)； |AB||AC||AB||AC|????????AB?. 与AB共线的单位向量是????|AB|

????????????????1PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心； 3?????????????特别PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心. ????????????????????????PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；

????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)； ?(???|AB||AC|?????????????????????????|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心.

S?ABC?????1???1?ABACsinA?22????2????2????????2ABAC?(AB?AC). x??x?h (2)平移公式： 如果点P(x，y)按向量a＝(h，k)平移至P(x?,y?)，则?. ??y?y?k?曲线f(x,y)?0按向量a＝(h，k)平移得曲线f(x?h,y?k)?0.

六、不等式

1.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往

往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

(2)解分式不等式f?x??a?a?0?的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解

g?x?因式，x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；

(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化)；

(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.

2. 利用重要不等式a?b?2ab 以及变式ab?(a?b)等求函数的最值时，务必注

22意a，b?R（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值(一正二定三等四同时).

22a?b?a?b?ab?2(根据目标不等式左右的运算结构3.常用不等式有：221?1ab?选用) a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号） 4.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响).

5.含绝对值不等式的性质：

222a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.

注意：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用方程函数思想和“分离变量法”转化为最值问题）.

七、直线和圆

?1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；直线方向向量的意义(a??(1,k)或

???(0,1)(??0))及其直线方程的向量式((x?x0,y?y0)??a(a为直线的方向向量)).应用直

线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况？

2.知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b或x?0；知直线横截距x0，常设其方程为

x?my?x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y?0.知直线过点(x0,y0)，常设其方程

为y?k(x?x0)?y0或x?x0.

注意：(1)直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、向量式．以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？） 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0； 与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为Bx?Ay?C1?0； 过点P(x0,y0)与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为：

A(x?x0)?B(y?y0)?0；

过点P(x0,y0)与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为：

B(x?x0)?A(y?y0)?0.

(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为?1或直线过原点.

(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.

3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是(0,?]，而其到角是带有方向的角，范围是(0,?).相应的公式是：夹角公

2k1?k2AB?A2B1k?kAB?A2B1.注：点|?|12|，直线l1到l2角公式tan??21?121?k1k2A1A2?B1B21?k1k2A1A2?B1B2到直线的距离公式d?|Ax0?By0?C|.

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