第3章 刚体和流体答案大物

第3章 刚体和流体

3.1 在描述刚体转动时，为什么一般都采用角量，而不采用质点力学中常采用的线量? 答：对于刚体，用角量描述方便可行，这是因为对刚体上的各点角量（??,?,?）都相同，若采用线量描述，由于刚体上各点线量（?r,?,a）均不相同，这对其运动的描述带来麻烦，甚至不可行。

3.2 当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，是否作用在它上面的合外力一定很大?是否作用在它上面的合外力矩一定很大?当合外力矩增加时，角速度和角加速度怎样变化?当合外力矩减小时，角速度和角加速度又怎样变化?

答：（1）当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，作用在它上面的合外力不一定很大（它们没有必然联系）；（2）当合外力矩增加时，角加速度增大，若角加速度方向与角速度方向相同时，角速度也增大，反之，角速度减小。（3）当合外力矩减小时，角加速度减小，但角速度同（2）中情况。

3.3 有人把握着哑铃的两手伸开，坐在以一定角速度转动着的(摩擦不计)凳子上，如果此人把手缩回，使转动惯量减为原来的一半。(1)角速度增加多少?(2)转动动能会发生改变吗?

答：（1）角速度增加一倍（据角动量守恒J??常量） （2）由Ek????1J?2知，转动动能增加一倍。 23.4 什么是流体?流体为什么会流动?

答：具有流动性的物体叫流体。

流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小，可以忽略，使得流体中的各分子可以自由运动。

3.5 连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答：连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动（其核心是不可压缩性。伯努利方程成立的条件是：理想流体，稳定流体，同一流线。在推s1?1?t?s2?2?t）

导中按理想稳定流体对待（未考虑粘滞力，考虑不可压缩性流线上的速度不随时间改变）。

3.6 为什么从消防栓里向天空打出来的水柱,其截面积随高度增加而变大?用水壶向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小?

答：从救火筒理向天空打出来的水柱，其截面随高度增加而变大，是由于从高度的增加，水流的速度变小，由连续性方程就决定了液面截面积要增加。同理，用水壶向水瓶中灌水时，水柱的截面积愈来愈小（由于速度增大）。

3.7 两船同向并进时,会彼此越驶越靠拢,甚至导致船体相撞,这是为什么? 答：这是由于在两船间，水流的截面变小，流速增大，从而据伯努利方程知压强

1

减小，而两船之外的压强几乎不变，这压强差的存在就可使两船彼此靠近，且这种现象会继续下去。若不及时改变船向，必将发生船体相撞。

* * * * * *

3.8 转速为2940转／分的砂轮，制动后于2分20秒内停止转动。求：(1)砂轮的平均角加速度；(2)在制动过程中砂轮转过的转数。

解：已知 ?0?2940?（1）??2??307.9rad/s ?t?0， t?2?60?20?140s 60???0?307.9???2.2rad/s2 t140121?t?307.9?140??2.2?1402?21546rad?3429（转） 22（2）???0t?3.9 一飞轮以n?1500转/分的转速转动，受到制动后均匀地减速，经t?50s后静止。(1)求角加速度和制动后25s时飞轮的角速度；(2)从制动到停止转动，飞轮共转了多少转?(3)若飞轮半径为r?0.5m，求t?25s时，飞轮边缘上一点的速度和加速度。 解：已知?0?1500?（1）??2??157.1rad/s ，?t?0 ，t?50s 60?t??00?157.1???3.14rad/s2 t50当t1?25s时 ?1??0??t1?157.1?3.14?25?78.6rad/s

（2） ???0t?121?t?157.1?50??3.14?502?393rad0?625转 22（3） ??r?1?0.5?78.6?39.3m/s，?2?r???0.5?3.14??1.57m/s2

an??2r?r?12?0.5?78.62?3089m/s2

3.10 一砂轮的直径为20厘米，厚为 b = 2.5 厘米，砂轮的密度为ρ= 2.4 克／厘米3。求：(1)砂轮的转动惯量；(2)当转速为2940转／分 时，砂轮的转动动能(砂轮可当作实心圆盘)。

解：已知R?20?10cm?0.1m，b?2.5cm?2.5?10?2m， 2??2.4g/cm3?2.4?103kg/m3

（1）J?rdm??rdV???2?2?R0R4??R4b r?2?rdrb?2??b?4223.14?2.4?103?0.14?2.5?10?2??9.42?10?3kg?m2

2

2

（2） Ek?112?J?2??9.42?10?3?(2940?)2?446J 22601Mb2，123.11 一块均匀的长方形薄板，边长为a、b，中心O取为原点，坐标为OXYZ，如图3.34所示，设薄板的质量为M，则薄板对OX轴、 OY轴和OZ轴的转动惯量分别为J0x?J0y?11Ma2，J0Z?M(a2?b2)， 证明此结论，并给出Jox,Joy,Joz之间的关系。 122M证明：设单位面积薄板的质量??

abJ0x??ydm??同理可得 J0y?22b2b?2?ab31y??ady??Mb2

121222xdm?x????bdx?b2b?21Ma2 121M(a2?b2) 2图3.34 题3.11图

J0Z??r2dm??(x2?y2)dm?J0x?J0y?关系为： J0Z?J0x?J0y 正交轴定理

3.12 一圆盘半径为R，装在桌子边缘上，可绕一水平中心轴转动。圆盘上绕着细线，细线的一端系一个质量为m的重物， m距地面为h，从静止开始下落到地面，需时间为t ，如图3.35所示，用此实验来测定圆盘的转动惯量，测得当m?m1时，t?t1；m?m2时t?t2， 证明：

?m1m2?2?(m1?m2)g?2h(2?2)?Rt1t2?? J?

112h(2?2)t1t2在实验过程中，假定摩擦力不变，绳子质量可忽略不计，绳子长度不变。

解：设绳中弹力为T，

对m有： mg?T?ma （1） 对于圆盘有： TR?J? （2） 由于绳子长度不变，a?R? （3） （1），（2）、（3）联立解得

R2a?mg （4） 2J?mR由 h?图3.35 题3.12图

122hat得： a?2 2t 3

?R2mg?2h(J?mR2) （5） 2t2当m?m1时有 Rm1g?2h(J?m1R2) （6） 2t12h2(J?mR) （7） 22t2当m?m2时有： Rm2g?由（6）式减（7）整理得

2?m1m2?2(m?m)g?2h(?2)?R?122t1t2? J??112h(2?2)t1t23.13 如图3.36所示，有质量为m1和m2的两物体，分别悬挂在两个不同半径的组合轮上，求物体的加速度与绳之张力。两轮的转动惯量分别为J1与J2，半径为r与R，轮与轴承间摩擦不计。（m2?m1）

解：设悬挂m1和m2的绳中张力分别为T1和T2 对m1有： T1?m1g?m1a1 （1） 对m2有： m2g?T2?m2a2 （2）

T2R?T1r?(J1?J2)? （3）

a1?r? （4）

图3.36 题3.13图

a2?R? (5)

(1)----(5)联立解之得

??(m2R?m1r)g(m2R?m1r)gr(m2R?m1r)gR，， a?a?12222222J1?J2?m2R?m1rJ1?J2?m1r?m2RJ1?J2?m1r?m2RJ1?J2?m2R(R?r)J1?J2?m1r(R?r)， T?m(g?a)?222J1?J2?m1r2?m2R2J1?J2?m1r2?m2R2T1?m1(g?a1)?3.14 一匀质圆盘，半径为R?0.20m，质量为M?2.50kg，可绕中心轴转动，如图3.37所示，在圆盘的边缘上绕一轻绳，绳的一端挂一质量m?0.50kg的砝码。试求：

（1）计算绳的张力和圆盘的角加速度；

4

（2）作用在圆盘上的力矩在2.0s内所作的功以及圆盘所增加的动能。 解： mg?T?ma （1）

TR?J? （2） a?R?

联立解得：

mgR （3）

J?mR2JT?mg （4） 2J?mR??M141222?2??R?MR而 J??rdm???r2?rdr? 2042?R11MR2?2.5J2(1) T?mg?mg?2?0.5?9.8?3.5N 211J?mRMR2?mR2?2.5?0.522mg0.5?9.8????14rad/s2

11MR?mR?2.5?0.2?0.5?0.222R图3.37 题3.14图

(2) 作用在圆盘上的力矩在2.0s内所作的功

11A?M??TR??TR??t2??3.5?0.2?14?22?19.6J

22圆盘所增加的功能等于作用在盘上的力矩所作的功。

3.15 如图3.38所示，在质量为M，半径为R可绕一水平光滑轴OO'转动的匀质圆柱形鼓轮上绕有细绳，绳的一端挂有质量为m的物体， m从高h处由静止下降。设绳子不在鼓轮上滑动，绳子长度不变，绳的质量可略去不计。试求：（1）m下降的加速度a ；（2）绳的张力T ；（3）m达到地面时的速度?；（4）m达到地面所需的时间t。

解： J?1MR2 （1） 2对m：mg?T?ma （2） 对盘： TR?J? （3）

a?R? （4）

联立（1）---（4）解得： （1） a?图3.38 题3.15图

M1M?m22mg?g

M?2m 5

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