（教案）算术平均数与几何平均数

[课题]算术平均数与几何平均数（第一课时）

授课教师： 河北省玉田县林南仓中学 数学组 金志刚

一、教学目标 (一)知识目标 1.重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号). 2.算术平均数，几何平均数及它们的关系. (二)能力目标

1.通过自学学会并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理及其推导.

2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.

(三)情感渗透目标

通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.

二、教学重点 1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).

2.如果a、b是正数，则

a?b2a?b22

2

为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平

均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果

a、b是正数，那么≥ab (当且仅当a＝b时取“＝”号).

a?b2a?b23.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”时取“＝”号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b?＝ab；仅当a＝b时取等号，即＝ab的充要条件.

＝ab?a＝b.综合起来，就是a＝b是

a?b2三、教学难点 1.a2＋b2≥2ab和

a?b2≥ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实

数，而后者要求a、b都是正数.

2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.

ab≤

a?b222，ab≤（

a?b2）2

四、教学方法 学教式教学法与启发式教学法相结合。

五、教具准备 教学用投影片14张，学生上课用的学案。

六[教学过程]

1.课题导入和复习回顾：（7分钟）

不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要

工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.

(一)打出投影片1，请同学们回答： ［师］“差值”比较法的理论依据？解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?

通过师生积极对话，简要作一下概括，打出投影片2，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面.即①依据是：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.

(二)不等式性质的巩固及应用(投影片3) 课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片4，使学生掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性a＞b?b＜a；(2)传递性a＞b，b＞c?a＞c；（3）可加性a＞b?a＋c＞b＋c；(4)可积性a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；(5)加法法则a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(6)乘法法则a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；（７）乘方法则a＞b＞0?an＞b（n∈N）；(8)开方法则a＞b＞0?nna?nb（n∈N).

（三）为进一步更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：

*

已知a、b为正实数，m、n∈N且m＞n，求证：

am＋bm≥am－nbn＋anbm－n.

［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成本题证明过程.

［生］（amm＋b）－（am－nnmm－nnb＋anbm－n）

＝（a－a＝am－nb）＋（bm－anbm－n）

nm－n（a－b）＋b－bm－nnn（b－a）

nnn＝（am－n）（a－b）

∵m＞n＞1，a＞0，b＞0 ∴当a＞b＞0时，则a∴（am－nm－n＞bm－n，a＞b

nn－bm－n）（a－b）＞0

m－nnn当a＝b＞0时，则（a当b＞a＞0时，则b∴（am－n－bm－n）（a－b）＝0

nnnnm－n＞am－n，b＞a

－bm－n）（a－b）＞0

nn综上所述，当a、b为正实数，m、n∈N且m＞n时，(a-b)(a-b)≥0

即a＋b≥ammm－nnm-nm-nnn*

b＋anbm－n.

下面，我们利用不等式的性质，研究推导本课重要的不等式. 2.学生安自学指导的提示自学本课内容。（5分钟） 3．效果检测：

（一）学生自由发言，依据自学指导依次汇报自学成果，教师点拨。 A.教师应该点出的内容： 在公式 学生注意以下两点：

以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让

（1）

是实数，而后者要求

和

都是正数。

成立的条件是不同的：前者只要求 都

（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当时取?=?号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当 时取等号，其含义就是：

仅当 时取等号，其含义就是：

综合起来，其含义就是： 是 的充要条件。

B.对于均值不等式还可以有如下证明： ∵a，b为正数 ∴a＞0，b＞0

22

∴a＝（a），b＝（b）

∴

a?b2?ab?a?b?2ab2?(a?2b)2b)2

a?b2a?b2当a＝b即a＝b时，

(a?2(a?2＝0，有

2?ab.

当a≠b即a≠b时，

b)＞0，有

?ab?ab

综上所述，当a、b为正数时，有号).

C.1.如果把

a?b2a?b2 (当且仅当a＝b时取“＝”

看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等

a?b2比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称

为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平

a?b2均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3.定理：“如果a、b是正数，那么

?ab（当

且仅当a＝b时取“＝”号）”的一种几何解释(如图所示)

以a＋b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，ＣB＝b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为

a?b2，显然，它大于或等于CD，即

a?b2?ab，其中当且

仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

（二）学生做效果检测判断题，进一步明确重要不等式的应用条件：“正、定、等。”能够辨析简单的变式。

对第四个问题可做如下解释： （拆分法）f(x)?x?4x1x3x(0?x?1)?(x?)??2x?1x?31?5，当且仅当x?1时“=”

号成立，故此函数最小值是5。当然此题还可用单调性法，提一提即可，不要用太多时间，可作为研究性问题让学生课下研究。

4．简单应用

应用2找1个学生板演，其余出示幻灯片。 1.已知a、b、c都是正数，求证 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：可求得结果.

答案：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2ab＞0

a?b2?ab（a＞0，b＞0）灵活变形，

b＋c≥2c＋a≥2

bcac＞0 ＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 2.已知x、y都是正数，求证： (1)

yx?xy≥2；

2

2

3

3

3

3

(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. 分析：在运用定理：

a?b2?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式

的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 答案：∵x，y都是正数

∴

xy＞0，

yx＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

(1)

xy?yx?2xy?yx＝2即

xy?yx≥2.

(2)x＋y≥2xy＞0

x2＋y2≥2x3＋y3≥2

xyxy322＞0 ＞0

3∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3） ≥2xy·2x2y2·2x3y3＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.求证：（

a?b2）≤

2

a?b222.

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