2016年北京市朝阳区普通中学中考数学模拟试卷（二）（3月份）
一.选择题
1．下列运算中，正确的是（ ）
3362352352224
A．x?x=x B．3x+2x=5x C．（x）=x D．（x+y）=x+y 2．若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第（ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四
3．某地连续10天的最高气温统计如下表： 最高气温（℃） 23 24 25 26 天数 3 2 1 4 则这组数据的中位数和平均数分别为（ ） A．24.5，24.6 B．25，26 C．26，25 D．24，26
4．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（ ）
A．12 B．8 C．4 D．3
5．抛物线y=2x2﹣3x+l的顶点坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）
6．下面等式中，对于任意实数，使各式都有意义的实数a总能成立的个数为（ ） （1）|a﹣1|=a﹣1 （2）
（3）
22
（4）（1﹣a）=（a﹣1）． A．4 B．3 C．2 D．1
7．在直角△ABC，∠C=90°，sinA=，BC=8，则AB的长为（ ） A．10 B．
C．
D．12
8．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10，P2A20，P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（ ）
1
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S1=S2=S3
二.填空题
9．﹣3的相反数是 ；的绝对值是 ． 10．不等式组
的解集是 ．
11．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD，BC于M，N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分面积是 ．
12．已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 （结果保留根号）．
三.解答题. 13．计算：
°．
14．解方程：
15．如图，是某公园“六一”前新增设的一架滑梯，该滑梯高度AC=2cm，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4cm． （1）求滑梯AB的长．
（2）若规定滑梯倾斜面（∠ABC）不超过45度属于安全范围，通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？
16．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 …
2
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）是销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？
2
17．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO （1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°，得到△FEC （1）猜想AE与BF有何关系，说明理由．
2
（2）若△ABC的面积为3cm，求四边形ABFE的面积． （3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？
19．如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．
（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件 （任写一个）； （2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．
20．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，（1）求圆心C的坐标．
（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数的解析式．
）．
的图象上，求抛物线
3
（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．
（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．
4
2016年北京市朝阳区普通中学中考数学模拟试卷（二）（3月份）
参考答案与试题解析
一.选择题
1．下列运算中，正确的是（ ） A．x3?x3=x6 B．3x2+2x3=5x5 C．（x2）3=x5 D．（x+y2）2=x2+y4
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】A、根据同底数幂的乘法法则计算； B、不是同类项，不能合并； C、根据幂的乘方法则计算； D、根据完全平方公式计算．
336
【解答】解：A、x?x=x，此选项正确；
2323
B、3x+2x=3x+2x，此选项错误；
236
C、（x）=x，此选项错误； D、（x+y2）2=x2+2xy4+y4，此选项错误． 故选A．
2．若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第（ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【考点】点的坐标． 【分析】根据a的取值范围判断出点M的横坐标的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵0＜a＜1， ∴﹣1＜a﹣1＜0，
∴点M（a﹣1，a）第二象限． 故选B．
3．某地连续10天的最高气温统计如下表： 最高气温（℃） 23 24 25 26 天数 3 2 1 4 则这组数据的中位数和平均数分别为（ ） A．24.5，24.6 B．25，26 C．26，25 D．24，26 【考点】中位数；算术平均数．
【分析】①求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；
②平均数是10天的气温总和除以10．
【解答】解：①根据题意可知题目中数据共有10个，故中位数是按从小到大排列后第5和第6个数，是25℃和24℃，它们的平均数24.5℃，所以中位数是24.5． ②这组数据的平均数（23×3+24×2+25×1+26×4）÷10=24.6． 故选A．
4．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（ ）
5
A．12 B．8 C．4 D．3 【考点】等边三角形的性质．
【分析】过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．
【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H， 则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得， 四边形PGBD，EPHC是平行四边形， ∴PG=BD，PE=HC，
又△ABC是等边三角形，
又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形， ∴PF=PG=BD，PD=DH， 又△ABC的周长为12，
∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4， 故选：C．
5．抛物线y=2x2﹣3x+l的顶点坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣） 【考点】二次函数的性质．
【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，可求抛物线顶点坐标． 【解答】解：配方得：y=2x2﹣3x+1=2（x﹣）2﹣， ∴抛物线顶点坐标为（，﹣）．
故选B．
6．下面等式中，对于任意实数，使各式都有意义的实数a总能成立的个数为（（1）|a﹣1|=a﹣1 （2） （3）
6
）（4）（1﹣a）2=（a﹣1）2． A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据绝对值的性质可得非负数的绝对值等于它本身，因此（1）中a≥1；根据二次根式有意义的条件可得
=|a|对任意实数a都有意义，
中必须a≥0；根据偶次幂的性
质可得1﹣a）2=（a﹣1）2|，对任意实数a都有意义． 【解答】解：（1）|a﹣1|=a﹣1，则a≥1； （2）
=|a|，对任意实数a都有意义；
（3）=a，则a≥0； （4）（1﹣a）2=（a﹣1）2|，对任意实数a都有意义； 共2个， 故选：C．
7．在直角△ABC，∠C=90°，sinA=，BC=8，则AB的长为（ ） A．10 B．
C．
D．12
【考点】解直角三角形．
【分析】根据正弦的定义列式计算即可． 【解答】解：∵，∠C=90°，sinA=， ∴
=，又BC=8，
∴AB=10， 故选：A．
8．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10，P2A20，P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S1=S2=S3 【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S=|k|即可判断．
7
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以S1=S2=S3． 故选D．
二.填空题
9．﹣3的相反数是 3 ；的绝对值是 2﹣ ． 【考点】实数的性质．
【分析】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分别得出答案． 【解答】解：﹣3的相反数是：3；
的绝对值是：2﹣．
故答案为：3，2﹣．
10．不等式组
的解集是 ﹣1＜x＜2． ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出①②的解集，再找到其公共部分即可． 【解答】解：
，
由①得，x＜2， 由②得，x＞﹣1，
不等式组的解集为﹣1＜x＜2． 故答案为﹣1＜x＜2．
11．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD，BC于M，N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分面积是
．
【考点】正方形的性质；切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】根据题意得，阴影部分的面积=S正方形﹣S△AME﹣S△BNE﹣S扇形EMN，根据已知可证明Rt△MAE≌Rt△NBA，从而得到式子：阴影部分的面积=S正方形﹣2S△AME﹣S扇形EMN，分别求得各部分面积即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵AE=BE，∠A=∠B，EM=EN， ∴Rt△MAE≌Rt△NBE， 由勾股定理得，AM=BN=
=
，
8
∵AE：ME=1：2，
∴∠AEM=∠BEN=60°， ∴∠MEN=60°，
则阴影部分的面积=S正方形﹣2S△AME﹣S扇形EMN=1﹣2×AM?AE﹣
=
．
12．已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 8 （结果保留根号）．
【考点】平面展开-最短路径问题；圆锥的计算． 【分析】由于圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【解答】解：圆锥的侧面展开图，如图所示： ∵圆锥的底面周长=2π×2=4π， 设侧面展开图的圆心角的度数为n． ∴
=4π，
解得n=90， ∴最短路程为：故答案为：
．
=8
．
三.解答题. 13．计算：
°．
【考点】实数的运算． 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
9
【解答】解：原式=1+9+3=1+9+3=10．
﹣3
﹣9×
14．解方程：
【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．
2
【分析】本题考查解分式方程的能力．因为x﹣1=（x+1）（x﹣1），所以可得方程最简公分母为（x+1）（x﹣1）．再去分母整理为整式方程即可求解．结果需检验． 【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），
2
得6﹣3（x+1）=x﹣1，
2
整理得x+3x﹣4=0， 即（x+4）（x﹣1）=0， 解得x1=﹣4，x2=1．
经检验x=1是增根，应舍去， ∴原方程的解为x=﹣4．
15．如图，是某公园“六一”前新增设的一架滑梯，该滑梯高度AC=2cm，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4cm． （1）求滑梯AB的长．
（2）若规定滑梯倾斜面（∠ABC）不超过45度属于安全范围，通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；两点间的距离． 【分析】（1）直接利用勾股定理得出AB的长，进而得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值，再结合tanB=
=，得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：在直角三角形ABC中， AB=
=
=2cm；
（cm），
答：滑梯AB的长为2
（2）因为：tanB=
=，tan45°=1，
所以0°＜B＜45°，故符合要求．
16．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 …
10
y（件） 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）是销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？
【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）本题属于市场营销问题，销售利润=一件利润×销售件数，一件利润=销售价﹣成本，日销售量y是销售价x的一次函数，所获利润W为二次函数． （2）运用二次函数的性质，可求最大利润． 【解答】解：（1）设此一次函数关系式为y=kx+b， 则
，
解得k=﹣1，b=40
故一次函数的关系式为y=﹣x+40．
（2）设所获利润为W元，
22
则W=（x﹣10）（40﹣x）=﹣x+50x﹣400=﹣（x﹣25）+225
所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元．
2
17．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO （1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由已知可得B（3，0），又C（0，﹣3），代入抛物线解析式可求b、c； （2）求抛物线顶点坐标，设对称轴与x轴交于D点，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），OC=|﹣3|=3， ∴c=﹣3 又∵OC=BO， ∴BO=3， ∴B（3，0）
9+3b﹣3=0，6+3b=0，b=﹣2 ∴y=x2﹣2x﹣3；
11
（2）∵对称轴x=
∴A点坐标为：（﹣1，0）， ∵顶点纵坐标y=﹣4， ∴AM=
=
=2
．
，B（3，0），
18．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°，得到△FEC （1）猜想AE与BF有何关系，说明理由．
2
（2）若△ABC的面积为3cm，求四边形ABFE的面积． （3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？
【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由△ABC绕点C顺时针旋转180°可知：AC=CF，BC=CE，四边形ABFE为平行四边形，于是得到结论；
（2）由于AC是△ABE的BE边上中线，于是得到S△ABE=2S△ABC=6，同理S△BEF=2S△CEF=6，即可得到结论；
（3）要判断四边形ABFE为矩形，从对角线来看，要求AF=BE，又AF与BE互相平分，只需要AC=BC，而AB=AC，故△ABC为等边三角形，∠ACB=60°． 【解答】解：（1）AE∥BF，AE=BF．
理由是：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC， ∴△ABC≌△FEC，
∴AB=FE（全等三角形的对应边相等）， ∠ABC=∠FEC（全等三角形的对应角相等）， ∴AB∥FE（内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABFE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
12
∴AE∥BF，AE=BF（平行四边形的对边平行且相等）；
（2）由（1）得四边形ABFE为平行四边形， ∴AC=CF，BC=CE，
∴根据等底同高得到S△ABC=S△ACE=S△BCF=S△CEF=3， S四边形ABFE=4S△ABC=12cm2；
（3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形． 理由是：AB=AC，∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=60°， ∴∠ACE=120°． 又BC=CE，AC=CF， ∴∠EAC=∠CEA=30°，
∴∠BAE=90°，同理可证其余三个角也为直角． ∴四边形ABFE为矩形．
19．如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D． （1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件 （任写一个）； （2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．
【考点】切线的判定；等腰三角形的性质． 【分析】（1）要使⊙O与AC边也相切，则应满足AO⊥BC，结合已知OB=OC，所以只要符合等腰三角形的三线合一即可；
（2）根据所添加的条件，利用等腰三角形的三线合一即可证明． 【解答】（1）解：AB=AC（或∠B=∠C或AO平分∠BAC或AO⊥BC）．
（2）证明：过O作OE⊥AC于E，连OD； ∵AB切⊙O于D， ∴OD⊥AB．
∵AB=AC，AO是BC边上中线， ∴OA平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， ∴OE=OD，
∴AC是⊙O的切线．
13
20．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，（1）求圆心C的坐标．
（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数
）．
的图象上，求抛物线
的解析式．
（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．
（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；
（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣
x的交点，即是
二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；
（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3． 【解答】解：（1）∵⊙C经过原点O ∴AB为⊙C的直径 ∴C为AB的中点
过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=∴圆心C的坐标为（1，）．
（2）∵抛物线过O、A两点，
14
，OH=OA=1
∴抛物线的对称轴为x=1， ∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，
∴顶点坐标为（1，﹣
）．
把这三点的坐标代入抛物线y=ax2
+bx+c，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2
﹣
x．
（3）∵OA=2，OB=2，
∴AB==4，即⊙C的半径r=2，
∴D（3，），E（﹣1，），
代入y=
x2﹣
x检验，知点D、E均在抛物线上．
（4）∵AB为直径，
∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角， ∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．
15
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