备战2019中考初中数学六大题型专项突破(六)二次函数综合题

备战2019中考初中数学六大题型专项突破

专题六:二次函数综合题

【方法指导】

二次函数综合题最能体现初中代数的综合性和能力性，因此二次函数在近几年考题中已经形成必不可少的题型，并作为压轴问题来进行考查.

二次函数综合题综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形和圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合及其代入法、消元法、配方法、待定系数法等.解题时要注意各个知识点的联系和思想的融合，及其技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，个个击破。从而达到解决问题的目的。 【典例解析】

类型一：二次函数与一次函数的综合问题 【例1】（2018

湖南郴州）（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x

轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

，解得：

，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1．

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2， ∴不存在．

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

，解得：

，

来源学+科+网∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t， ∴S=

PF?OB=﹣＜0，

．

t2+t=﹣（t﹣

）2+

．

②∵﹣

∴当t=时，S取最大值，最大值为

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC=

=3

，

∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．

【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值． 类型二：二次函数与动点产生的三角形问题

【例2】（2018海南）（15.00分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上． ①求四边形ACFD的面积；

②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q

的坐标．

【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角，则有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，当∠ADQ=90°时，可先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可表示出k2，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标． 【解答】解： （1）由题意可得

，解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴F（1，4），

∵C（0，3），D（2，3）， ∴CD=2，且CD∥x轴， ∵A（﹣1，0）， ∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=

×2×3+

×2×（4﹣3）=4；

②∵点P在线段AB上，

∴∠DAQ不可能为直角，[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°， i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，

∵A（﹣1，0），D（2，3）， ∴直线AD解析式为y=x+1， ∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′， 把D（2，3）代入可求得b′=5， ∴直线DQ解析式为y=﹣x+5， 联立直线DQ和抛物线解析式可得∴Q（1，4）；

ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3）， 设直线AQ的解析式为y=k1x+b1， 把A、Q坐标代入可得

，解得k1=﹣（t﹣3），

，解得

或

，

设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t， ∵AQ⊥DQ，

∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=当t=当t=

时，﹣t+2t+3=时，﹣t2+2t+3=

，

2

，

， ， ）或（

，，

）； ）或（

，

）．

∴Q点坐标为（

综上可知Q点坐标为（1，4）或（

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 类型三：二次函数与动点产生的四边形问题

【例3】（2018东营）（12.00分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解

析式；

（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；

（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；

（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可． 【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0）， ∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC， ∴OC：OB=OA：OC， ∴OC2=OA?OB=3， 则OC=

；

（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线， ∴OC=BC，

∴点C的横坐标为又OC=∴C（

，

，点C在x轴下方， ，﹣

），

设直线BM的解析式为y=kx+b， 把点B（3，0），C（解得：b=﹣∴y=

x﹣

，k=， ，﹣，

x2﹣

x+2

；

）在抛物线上，代入抛物线解析式， ，﹣，

）代入得：

，

又∵点C（解得：a=

∴抛物线解析式为y=（3）点P存在， 设点P坐标为（x，则Q（x，∴PQ=

x﹣

x﹣

x2﹣），

x2﹣

x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，

﹣（x+2）=﹣x2+3x﹣3，

当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大， S△BCP=当x=﹣（，﹣

PQ（3﹣x）+=

PQ（x﹣

）=

PQ=﹣

x2+

x﹣

，

时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 【真题热身】

1. （2018山东淄博）（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，

），点B（3，﹣

），O为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围； （3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）将已知点坐标代入即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；

（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣

）求出相关角度．

），点B（3，﹣

）分别代入y=ax2+bx得

【解答】解：（1）把点A（1，

解得

∴y=﹣

（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=当x＞

时，y随x的增大而减小

∴当t＞4时，n＜m．

（3）如图，设抛物线交x轴于点F

分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E

∵AC≥AD，BC≥BE ∴AD+BE≥AC+BE=AB

∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大． ∵A（1，

），点B（3，﹣

）

∴∠AOF=60°，∠BOF=30° ∴∠AOB=90° ∴∠ABO=30°

当OC⊥AB时，∠BOC=60° 点C坐标为（

，

）．

【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．

2. （2018山东枣庄）（10分）如图1，已知二次函数y=ax+

2

x+c（a≠0）的图

象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）请直接写出二次函数y=ax2+

x+c的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；

（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形． （3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；

（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=

（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

2

得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+

x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x

轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）， ∴解得

．

x2+

x+4；

，

∴抛物线表达式：y=﹣

（2）△ABC是直角三角形． 令y=0，则﹣

x2+

x+4=0，

解得x1=8，x2=﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，0）， 由已知可得，

在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20， 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80， 又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A（0，4），C（8，0）， ∴AC=

=4

，

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0）， ②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣40）或（8+4

，0）

，

③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4

，0）、（3，0）、（8+4

，0）．

（4）如图，

设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D， ∴MD∥OA， ∴△BMD∽△BAO， ∴

=

，

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