第十八讲中考数学几何部分提升

第十八讲 中考数学几何提升

专题提升(八) 以特殊三角形为背景的计算与证明

一、以等腰三角形为背景的计算与证明

1．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )

3

A. y＝x2 B. y＝3x2 C. y＝23x2 D. y＝33x2

2

(第1题图) (第2题图)

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.

3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.

(第3题图)

4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°. (1)若AD＝2，求AB.

(2)若AB＋CD＝23＋2，求AB.

(第4题图)

二、以直角三角形为背景的计算与证明

5．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5. (1)求DB的长．

(2)在△ABC中，求BC边上高的长．

(第5题图)

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB.

(第6题图)

7．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E.若AB＝5，

1

求线段DE的长．

(第7题图)

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高． (1)求证：AE＝ED.

(2)若AC＝2，求△CDE的周长．

(第8题图)

9．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB. (1)求∠B的度数．

1

(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB.

2

(第9题图)

10．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60 km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5 s，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200 m，此车超速了吗？请说明理由(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．

(第10题图)

11．如图所示，一根长2.5 m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的距离为0.7 m，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4 m，那么木棍的底端B向外移动多少距离？ (2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

(第11题图)

专题提升(九) 以特殊四边形为背景的计算与证明

一、以平行四边形为背景的计算与证明

1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE. 求证：四边形ABCD为平行四边形．

(第1题图)

2．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC.求证：四边形ADCE是平行四边形．

2

(第2题图)

3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，?ABCD的对角线交于坐标原点O. (1)请直接写出点C，D的坐标．

(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程． (3)直接写出平行四边形ABCD的面积．

(第3题图)

4．如图，在?ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．

(第4题图)

二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明

5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y1

＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积2是2.

求证：四边形ABCD是矩形．

(第5题图)

6．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连结CE.

求证：四边形BECD是矩形．

(第6题图)

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.

(1)求证：∠PNM＝2∠CBN. (2)求线段AP的长．

(第7题图)

3

8．如图，在矩形ABCD中，点F是CD的中点，连结AF并延长交BC延长线于点E，连结AC. (1)求证：△ADF≌△ECF.

(2)若AB＝1，BC＝2，求四边形ACED的面积．

(第8题图)

9．如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC分别交于点M，H.

(1)求证：CF＝CH.

(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

(第9题图)

10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OBEC是矩形．

1

(2)若菱形ABCD的周长是410，tan α＝，求四边形OBEC的面积．

2

(第10题图)

11．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连结CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连结AF.

(1)求证：△AED≌△CFD.

(2)求证：四边形AECF是菱形．

(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？

(第11题图)

12．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连结BF.

(1)求证：BD＝CD.

(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形(写出条件即可，不要求证明)?

(第12题图)

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线

4

与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连结AF，CG. （1）求证：AF＝BF.

（2）如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．

(第13题图)

14．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F.

(1)证明：PC＝PE. (2)求∠CPE的度数．

(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连结CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

(第14题图)

15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．

专题提升(十) 与圆有关的计算与证明

1．已知圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为3 cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 180°

2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°

︵3

得到△BOD，则AB的长为( )A. π B. π C. 3π D. 6π

2

,(第2题图)) ,(第3题图))

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连结AD.若∠A＝25°，则∠C的度数为( )A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°

(第4题图) (第5题图)

S阴影

4．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝( )

S空白

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为 __ ．

5

(第6题图) (第7题图)

6．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是__ °.

7．如图，在四边形形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°.则图中阴影部分的面积为 ．

8．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．

︵

9．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为BD的中点，则AC的长是 ．

(第8题图) (第9题图)(第10题图)

10．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E.

(1)求证：AB＝AC.

(2)求证：DE为⊙O的切线．

12

(3)若AB＝13，sin B＝，求CE的长．

13

11．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点； (3)在满足(2)的条件下，AB＝10，ED＝ 46，求BG的长．

(第11题图)

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x－23与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.

(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由．

(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长． (3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

6

(第12题图)

︵

13．如图①，在⊙O中，E是AB的中点，C为⊙O上的一动点(C与E在AB异侧)，连结EC交AB于

2

点F，EB＝r(r是⊙O的半径)．

3

(1)D为AB延长线上一点，若DC＝DF，求证：直线DC与⊙O相切． (2)求EF·EC的值．

(3)如图②，当F是AB的四等分点时，求EC的值．

(第13题图)

专题提升(十一) 巧用图形变换进行计算与证明

1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2则旋转的牌是( )

(第1题图)

2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )

A. 3 B. 23 C. 33 D. 43

(第2题图)

(第3题图)

7

3．如图，已知⊙O的半径长为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分面积为 ．

4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为____ m.

(第4题图) (第5题图)

5．如图，四边形是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连结BN，MN，延长MN交BC于点G.有如下结论：

①∠ABN＝60°；②AM＝1；③QN＝

3

；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是3

BN的中点，则PN＋PH的最小值是3.

其中正确结论的序号是__ ．

6．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是__ ．

(第6题图) (第7题图)

7．如图，O是等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则△AOC与△AOB的面积之和为 ．

8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，CD＝2，则AD的长为__ ．

(第8题图) (第9题图)

9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证：AM＋CN＝MN.

10．某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)，两村的坐标分别为A(2，3)，B(12，7)．

(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短？ (2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

8

(第10题图)

9

11．如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3 B3B2B1(即阴影部分)．

(1)在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示．

(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b)：S1＝(a－1)b，S2＝(a－1)b，S3＝(a－1)b．

(3)如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位)，请你求出空白部分表示的草地面积是多少？

(第11题图)

(4)如图⑤，若在(3)中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的宽度都是1个单位)，请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？

专题提升(十二) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E，则图中相似三角形共有( )

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对

(第1题图) (第2题图)

2．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是( )

A. ∠ACD＝∠DAB B. AD＝DE C. AD2＝BD·CD D. AD·AB＝AC·BD

3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是( )

A.

ACOQAQBPACORAQAC＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ ORABABBCAPOPAPAB

(第3题图)

(第4题图)

10

4．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，已知半径长为4，AC＝42，AB＝6，则AD的长为( )

A. 5 B. 4.8 C. 32 D. 26

5．如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D，若CD＝3，CO＝4，则AC的长为 ．

(第5题图) (第6题图)

6．如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连结AE.若∠F＝60°，GF＝1，则⊙O的半径长为 ．

︵︵

7．如图，已知AD是⊙O的弦，BD＝CD，DE是⊙O的切线且与弦AB的延长线相交于点E，若AC＝3，AE＝8，则AD的长为_ ．

(第7题图) (第8题图)

8．如图，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，则⊙O的半径长为 ．

9．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连结OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.则AC的长为 ．

(第9题图) (第10题图)

10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 ．

11．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC. (1)求证：直线CD为⊙O的切线．

(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．

(第11题图)

11

12．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB.

(1)求证：△ADE∽△CDF.

(2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与?ABCD的面积之比．

(第12题图)

13．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A，B，D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连结ED.

(1)求证：ED∥AC.

(2)若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12－16S2＋4＝0，求△ABC的面积．

(第13题图)

14．已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C，D两点，CD＝2，∠DAB＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q.

(1)当点P运动到使Q，C两点重合时(如图①)，求AP的长．

1

(2)点P在运动过程中，有几个位置(几种情况)使△CQD的面积为？(直接写出答案)

2

1

(3)当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时(如图②)，求AP的长．

2

12

13

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