集合与简易逻辑(理)-2014年高考数学二轮复习精品资料(原卷版)

【高效整合篇】

一．考场传真

1.【2013年全国新课标1】已知集合A?{x|x2?2x?0}，B?{x|?5?x?5}，则(

)

A.A?B?? B.A?B?R C.B?A

D.A?B

2.【2013年安徽】已知A??x|x?1?0?,B???2,?1,0,1?，则(CRA)?B?（ ）

A.??2,?1?

B.??2?

C.??1,0,1?

D.?0,1?

3．【2013年福建】若集合A?{1,2,3},B?{1,3,4}，则A?B的子集个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．16

4.【2013年陕西】设全集为R, 函数f(x)?1?x2的定义域为M, 则CRM为（ ） A. [－1,1]

C. (??,?1]?[1,??)

B. (－1,1)

D. (??,?1)?(1,??)

5.【2013年四川】设x?Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p:?x?A,2x?B，则（ ）

A.?p:?x?A,2x?B B.?p:?x?A,2x?B C.?p:?x?A,2x?B D.?p:?x?A,2x?B

二．高考研究

【考纲解读】

1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题.了解“若p则q”形式的逆命题，否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系.了解逻辑联接词“或”、“且”、“非”的含义.

2．理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 理解

在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系与运算. 理解命题的概念.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.理解全称两次和存在量词的意义.

3.体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用. 【命题规律】

一．基础知识整合

（一）集合的概念及表示 1．集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）. 2．集合中元素的3个性质：互异性、确定性、无序性. 3．集合的3种表示方法：列举法、描述法、图像法. 4．集合的分类：无限集、有限集。

5．集合的表示方法：列举法、特征性质描述法．集合的表示方法是可以相互转化的． 6．常用数集符号

（二）．集合间的基本关系

1．集合与元素的关系：如果a是集合A中的元素可表示为a?A；如果a不是集合A中的元素可表示为a?A. 2．集合与集合的关系

如果集合A是集合B的真子集，可表示为AB． 如果集合A是集合B的子集，可表示为A?B．

3．集合相等

如果两个集合A、B中的元素完全相同，则这两个集合相等。表示为A＝B． 集合A与集合B满足A?B且A?B,则A＝B．

4．空集的性质：用?表示．空集是任何集合的子集．空集是任何非空集合的子集． 5. 有限集合A,则：A的子集个数是2； A的真子集个数是2—1；

nnA的非空子集个数是2n—1； A的非空真子集个数是2n—2．

三．集合的基本运算及性质

3．集合运算中的常用结论

交换律：A结合律：A分配律：A吸收律：AB?BA,AB?BA；

(BC)?(AB)C,A(BC)?(AB)C；

(BC)?(AB)(AC),A(BC)?(AB)(AC)； (AB)?A,A(AB)?A；

反演律（德摩根律）：痧uU(A4．AB)?uUA痧uUB,uU(AB)?痧uUAuUB．

B?A?AB?B?A?B． 5．对两个有限集A、B有：card（A∪B）=card (A)+card（B）—card（A∩B）．

四．命题

1. 命题：可以判断真假的语句．

简单命题：不含逻辑联结词的语句．

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题． 三种形式：p或q，p且a, 非p

真假判断：p或q, 同假为假，否则为真．p且q, 同真为真．非p，真假与原命题相反．

原命题：若p则q， 逆命题若q则p，否命题若?p则?q， 逆否命题若?q则?p . 四种命题的关系可以用下图表示：

互为逆否的两个命题是等价的．原命题为真，它的逆命题不一定为真． 原命题为真，它的否命题不一定为真．原命题为真，它的逆否命题一定为真．

在命题若p则q 中，否命题若?p则?q，命题的否定为若p则?q（仅否定结论）． p、q形式的复合命题的真值表

反证法的步骤：假设命题结论不成立?推出矛盾?假设不成立?原命题成立 ．

常见结论的否定形式

五．充分条件、必要条件

p是q的充分条件，即p?q，相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：P?Q，即PQ或P?Q，必要条件正好相反.而充要条件p?q就相当于

P?Q.

以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p，则q”为真；②p?q；③p是q的充分条件；④q是p的必要条件.

充分条件、必要条件常用判断法：

1、 定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B?A或A?B是否成立，只要把题目中所给条件按照逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．

2、转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断．

3、集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q所对应的集合分别为A、B，则：

1若A?B,则p是q的充分条件． ○2若A○

B,则p是q的充分不必要条件．

3若A?B,则p是q的必要条件． ○4若B○

A,则p是q的必要不充分条件．

5若A=B, 则p是q的充要条件． ○6若A○

B, 且AB则p是q的既不充分也不必要条件．

六．全称量词与存在量词

全称量词:短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.

全称命题：含有全称量词的命题. 存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”、“对某个”、“有些”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示. 特称命题：含有存在量词的命题. 全称量词与存在量词表述：

七．含有一个量词的否定

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定有如下结论：

全称命题p:?x?M,p(x)，它的否定是?p:?x0?M,p(x0). 全称命题的否定是特称命题.

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定有如下结论：

特称命题?p:?x0?M,p(x0)，它的否定是p:?x?M,p(x). 特称命题的否定是全称命题. 八．常见结论的否定形式

二．高频考点突破

题型一：集合个数的判断

【例1】【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考】集合A?{x?N|3?1}，xB?{x?N|log3(x?1)?1}，S?A，SB??，则集合S的个数为（ ）

A．0 B．2 C．4 D．8

【举一反三】【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题（文科）】已知集合

M?{0,1,2,3,4}，N?{1,3,5}，p?M?N，则p的子集共有( )

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 题型二：集合的运算

【例2】【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试】已知集合M?{x|x?x2}，

4xN?{y|y?,x?M}，则M2 A.{x|0?x?} D.{x|1?x?2}

N? ( )

12 B.{x|1?x?1} 2 C.{x|0?x?1}

【举一反三】【2012年重庆)设平面点集A?{(x,y)|(y?x)(y?)?0}，

1xB?{(x,y)|(x?1)2?(y?1)2?1}，则A A.

B所表示的平面图形的面积为( )

334?? B.? C.? D.

5247题型三：文氏图的运用

【例3】【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考】已知全集U?R，集合A?x|x?1,x?Z, B?x|x?2x?0 ,则图中的阴影部分表示的集合为( )

???2?1,2? D. ?0,2? A.??1? B.?2? C.?

【举一反三】【四川省绵阳南山中学高2014级零诊考试】全集U?R,A?{x|x2?2?0},

B?{y|y?cosx,x?R}，则下图中阴影部分表示的集合为( )

A．{x|x??1或x?2} B．{x|?1?x?2} C．{x|x?1} D．{x|0?x?1}来源:学§科§网]

题型四：与集合有关的创新试题 【例4】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设整数n?4,集合

X??1,2,3,,n?.令集合

S???,?x,且?y三|z条,?x? 件,?y, 若?x,y,z?和?z,w,x?都在S中,则下列选项正确的是( )

A . ?y,z,w??S,?x,y,w??S B．?y,z,w??S,?x,y,w??S

C．?y,z,w??S,?x,y,w??S

D．?y,z,w??S,?x,y,w??S

【举一反三】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】设a,b为实数，我们称(a,b)为有序实数对．类似地，设A,B,C为集合，我们称(A,B,C)为有序三元组．如果集合A,B,C满足|AB|?|BC|?|CA|?1，且ABC??，则我们称有序三元组(A,B,C)为最

小相交（|S|表示集合S中的元素的个数）．

（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；

（Ⅱ）由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N为最小相交的有序三元组的个数，求N的值．

题型五：四种命题的关系及真假判断 【例5】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考理科】命题“若

a2?b2?0,则a?0且b?0”的逆否命题是( )

22 A.若a?b?0，则a?0且b?0

22C.若a?0且b?0，则a?b?0若

22 B．若a?b?0，则若a?0或b?0 22 D．若a?0或b?0 则a?b?0

【举一反三】【黄冈中学 黄石二中 鄂州高中2014届高三三校联考】有下述命题[来源:Zxxk.Com]

①若f(a)?f(b)?0，则函数f(x)在(a,b)内必有零点；

②当a?1时，总存在x0?R，当x?x0时，总有ax?xn?logax； ③函数y?1(x?R)是幂函数； ④若AB，则Card(A)?Card(B)

其中真命题的个数是（ ）

A.0 B. 1 C. 2 D.3 题型六：充分条件与必要条件的判断 【例6】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考理科】已知“命题

p:(x?m)2?3(x?m)”是“命题q:x2?3x?4?0”成立的必要不充分条件,则实数m的

取值范围为_________________.

数的不等式求解．涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏

【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】“???”是“曲线

y?sin(2x??)过坐标原点的”（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 题型七：全称命题与特称命题的命题真假判断

【例7】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】

已知p:“对任意的x?[2,4]，log2x?a?0”，q:“存在x?R，x?2ax?2?a?0”,若p,q均为命题，而且“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 .

2【举一反三】【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】有以下命题：

（1）命题“存在x?R，使x?x?2?0”的否定是：“对任意的x?R，都有x?x?2?0”；

2（2）已知随机变量?服从正态分布N(1,?)，P(??4)?0.79，则P(???2)?0.21；

1322（3）函数f(x)?x?()的零点在区间(,)内． 其中正确的命题的个数为（ ）

A．3个

B．2个 C．1个 D．0个

12x1132题型八：全称命题与特称命题的命题的否定

【例8】【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】命题“对

2任意x?R都有x?1”的否定是（ ）

2A.对任意x?R，都有x?1

B.不存在x?R，使得

x2?1

C.存在x0?R，使得x0?1

2x0?1

2

D.存在x0?R，使得

【举一反三】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】若命题

2“?x0?R,x0，则实数a的取值范围是 ． ?2ax0?2?a?0是真命题”

题型九：利用逻辑联结词的命题的真假求参数的取值（或范围）

【例9】【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】设U?R,已知集合

A?{x|x?1}，B?{x|x?a}，且(CUA)B?R，则实数a的取值范围是（ ）

A．(??,1) B．(??,1] C．(1,??) D．[1,??)

【举一反三】【黄冈中学 黄石二中 鄂州高中2014届高三三校联考】已知命题p：函数

y?(a?1)x在R上单调递增；命题q：不等式x?x?3a?1的解集为R，若p?q为真，

p?q为假，求实数a的取值范围．

三．错混辨析

1.忽视空集

2【例1】已知集合A?{x|x?5x?6?0}，B?{x|mx?1?0}，且AB?B，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集.

2.混淆“命题p是q的充分不必要条件”与“命题p的充分不必要条件是q”

【例2】设m、n是平面?内的两条不同的直线，l1、l2是平面?内的两条相交直线，则

?//?的一个充分而不必要条件是（ ）

3.未理解存在量词、全称量词的含义

2【例3】已知命题p：存在一个实数x0，使得x0?x0?2?0，写出?p.

21.（改变题）已知集合A?{x||x?2|?5,x?Z}，B?{x|y?ln(9?x)}，则A（ ） B为

1，2? D. ?1，0? B. ??2，?1，0，1，2? C. ?0，A． ??2，0，1，2? ??1，②命题p:?x?R，tanx?题； ③集合A?{x|必要条件；

?2；命题q:?x?R,x?x?1?0，则命题“p??q”是假命

2x?1}，B?{x|(x?a)2?1}，则“a?(2,5)”是“B?A”的充分不x?1④设a、b、c分别是?ABC中?A、?B、?C所对边的边长，则直线

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