高考数学第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数

第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数

(1)

第三章 (对应学生用书(文)、(理)20～21页)

考情分析 ① 幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，要引起重视. ② 对数式和指数式的相互转化，应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简是研究指、对数函数的前题，高考的涉及面比较广． 考点新知 ① 理解指数和指数函数的概念，会进行根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的性质和运算法则，并能运用它们进行化简和求值. ② 理解对数的概念，熟练地进行指数式和对数式的互化，掌握对数的性质和对数运算法则，并能运用它们进行化简和求值. ,

1. (必修1P63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： 32(1) a＝________；(2) aaa＝________；

23

(3) ?3?·ab＝________．

?a?

2773

答案：(1) a3 (2) a8 (3) a6b2

2. (必修1P80习题6改编)计算：(lg5)＋lg2×lg50＝________． 答案：1

2

解析：原式＝(lg5)＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.

3. (必修1P80习题12改编)已知lg6＝a，lg12＝b，则用a、b表示lg24＝________． 答案：2b－a

144

解析：lg24＝lg＝2lg12－lg6＝2b－a.

6

3

3

4. (必修1P63习题6改编)若a＋a＝3，则a2－a－＝______．

2

－1

2

答案：±4

3111

3112－1－1

解析：a2－a－＝(a2－a－)(a＋a＋1)．∵ (a2－a－)＝a＋a－2＝1，∴ (a2－

2221

a－)＝±1，∴ 原式＝(±1)×(3＋1)＝±4. 2

?1?a?1?b

5. 已知实数a、b满足等式??＝??，下列五个关系式：

?2??3?

① 0＜b＜a；② a＜b＜0；③ 0＜a＜b；④ b＜a＜0；⑤ a＝b. 其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号) 答案：③④

blg2ab解析：条件中的等式?2=3?alg2=blg3．若a≠0，则?∈（0，1）．

alg3（1）当a＞0时，有a＞b＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a＜0时，则b＜0，b＞a，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a=0，则b=0，故关系式⑤可能成立．

1. 根式

(1) 根式的概念 根式的概念 如果a＝x，那么x叫做a的n次实数方根 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 (2) 两个重要公式 a（n为奇数），??nn

?① a＝? ?a（a≥0），?|a|＝（n为偶数）；??－a（a<0）??nnn

② (a)＝a(注意a必须使a有意义)． 2. 有理指数幂

(1) 分数指数幂的表示

m

nm*

① 正数的正分数指数幂是an＝a(a>0，m、n∈N，n>1)； m11*

② 正数的负分数指数幂是a－＝＝(a>0，m、n∈N，n>1)；

nmnmaan

③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．

(2) 有理指数幂的运算性质

sts＋t

① aa＝a(a>0，t、s∈Q)；

stst

② (a)＝a(a>0，t、s∈Q)；

ttt

③ (ab)＝ab(a>0，b＞0，t∈Q)． 3. 对数的概念 (1) 对数的定义

b

如果a＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

n符号表示 na 备注 n>1且n∈N 0的n次实数方根是0 负数没有偶次方根 *n±a (2) 几种常见对数

对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 底数为10 底数为e 记法 logaN lgN lnN 4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质

N

① alogaN＝N；② logaa＝N(a>0且a≠1)． (2) 对数的重要公式

logaN1

① 换底公式：logbN＝(a、b均大于零且不等于1)；② logab＝. logablogba(3) 对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ① loga(MN)＝logaM＋logaN； M

② loga＝logaM－logaN；

N③ logaM＝nlogaM(n∈R)； nn

④ logamM＝logaM.

m[备课札记]

n

题型1 指数幂的运算

例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)： 1?7?00.25436

(1) 1.5－×?－?＋8×2＋(2×3)－3?6?21

11－1

（a3·b）－·a－·b3

22

(2) ；

65

a·b41

?a3－8a3b3b?3

(3) ÷??×a.

22?1－2a?3

4b3＋2ab＋a3

?2?3； ?3???

2

?2??2?23

解：(1) 原式＝??3＋24×24＋2×3－??3＝2＋108＝110.

?3??3?

1111a－·b2·a－·b332

(2) 原式＝

15a6·b61111151＝a－－－·b＋－＝. 326236a

111

1a3（a－8b）a3a3（a－8b）11

(3) 原式＝××a3＝×a3×a3＝a.

111111a－8b

22

（2b3）＋2b3a3＋（a3）a3－2b3备选变式（教师专享） 化简下列各式：

1

21－2－?1?＋3433－?1?3；

(1) 1253＋???27?

?2???12151－1－2－3

(2) a3·b·(－3a－b)÷(4a3·b)2.

625ab解：(1)33；(2)－2. 4ab题型2 对数的运算

例2 求下列各式的值．

1

(1) log535＋2log1 2－log5－log514；

50

2111

(2) log2×log3×log5.

2589

1

35×503

解：(1) 原式＝log5＋2log122＝log55－1＝2.

14

2

111lglglg2589－2lg5－3lg2－2lg3

(2) 原式＝××＝××＝－12.

lg2lg3lg5lg2lg3lg5变式训练

15

(1) 计算：lg－lg＋lg12.5－log89·log278；

28(2) 已知log189＝a，18＝5，用a、b表示log3645.

b

1311

12lg9lg82lg31

解：(1) 原式＝lg×12.5－·＝1－＝. (2) 由题意，得b＝log185，

5lg8lg273lg338

??????

log1845log189＋log185a＋b

故log3645＝＝＝. log1836log18324－log1892－a

题型3 指数与对数的混合运算

xyz

例3 已知实数x、y、z满足3＝4＝6＞1. 212

(1) 求证：＋＝；

xyz

(2) 试比较3x、4y、6z的大小．

xyz

(1) 证明：令k ＝3＝4＝6＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，

111212

于是＝logk3，＝logk4，＝logk6，从而＋＝2logk3＋logk4＝logk3＋logk4＝logk36

xyzxy＝2logk6，等式成立．

(2) 解：由于k＞1，故x、y、z ＞0.

3lgk

3

3x3log3klg33lg4lg4lg64＝＝＝＝4＝＜1； 4y4log4k4lgk4lg3lg3lg81

lg42lgk

2

4y2log4klg42lg6lg6lg36＝＝＝＝3＝＜1， 6z3log6k3lgk3lg4lg4lg64

lg6故3x＜4y＜6z.

备选变式（教师专享）

2－2

若xlog34＝1，求x－x的值．

2＋2解：由xlog34＝1，知4＝3， ∴

2－2x－x2＋2

3x

－3x

x

3x

－3x

＝

(2x－2－x)(22x＋2－2x＋1)

2＋2

x

－x

＝

（2－1）（2＋2

2x

2＋1

2x2x－2x

＋1）

＝

?1?（3－1）?3＋＋1??3?13

＝. 3＋16

1. (2013·四川)计算：lg5＋lg20＝________． 答案：1

解析：lg5＋lg20＝lg(5×20)＝lg10＝1.

??1?x

???，x≥4，

2. (2013·长春调研)已知函数f(x)＝??2?则f(2＋log23)＝________．

??f（x＋1），

1

答案： 24

?1?解析：由3<2＋log23<4，得3＋log23>4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝???2??1?＝???2?

log2

24

3＋log23

1＝. 24

3. (2013·新课标)已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为________．

答案：a>b>c

解析：a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由于log32>log52>log72，所以a>b>c.

a＋babc

4. (2013·温州二模)已知2＝3＝6，若∈(k，k＋1)，则整数k的值是________．

c答案：4

a＋blog2tlog3tabc

解析：设2＝3＝6＝t，则a＝log2t，b＝log3t，c＝log6t，所以＝＋＝

clog6tlog6tlogt6logt6a＋b

＋＝log26＋log36＝2＋log23＋log32.因为2

1. 设a＝lge，b＝(lge)，c＝lge，则a、b、c的大小关系是________．

答案：a＞c＞b

解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c＝lge，作商比较知c>b，故a>c>b.

2. 已知三数x＋log272，x＋log92，x＋log32成等比数列，则公比为________． 答案：3

解析：∵ 三数x＋log272，x＋log92，x＋log32成等比数列，

2

?1??1?∴ (x＋log92)＝(x＋log272)(x＋log32)，即?x＋log32?＝?x＋log32?(x＋log32)，解?2??3?

2

2

1x＋log32

得x＝－log32，∴ 公比q＝＝3.

41

x＋log322

3. 设a＞1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a]满足方程logax＋logay＝3，则a的取值范围是________．

答案：a≥2

解析：∵ a＞1，x∈[a，2a]， ∴ logax∈[1，1＋loga2]．

2

又由y∈[a，a]，得 logay∈[1，2]， ∵ logay＝3－logax，

2

∴ 3－logax∈[1，2]， ∴ logax∈[1，2]，

∴ 1＋loga2≤2，loga2≤1，即a≥2.

1??1??4. 已知m、n为正整数，a＞0且a≠1，且logam＋loga?1＋?＋loga?1＋?＋…＋

?m??m＋1?1??loga?1＋?＝logam＋logan，求m、n的值．

?m＋n－1?

?m＋1?＋log?m＋2?＋…＋log?m＋n?＝

解：左边＝logam＋loga??a??a??

?m??m＋1??m＋n－1??m＋1·m＋2·…·m＋n?

loga?m·

mm＋1m＋n－1???

＝loga(m＋n)，

∴ 已知等式可化为loga(m＋n)＝logam＋logan＝logamn. 比较真数得m＋n＝mn，即(m－1)(n－1)＝1.

???m－1＝1，?m＝2，?∵ m、n为正整数，∴ 解得? ?n－1＝1，?n＝2.??

1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．

2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形．

3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．

请使用课时训练（B）第7课时（见活页）.

[备课札记]

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