第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合
题型1 集合的基本概念 题型2 集合间的基本关系 题型3 集合的运算
21.（2017江苏01）已知集合A??1,2?，B?a,a?3，若A??B??1?，则实数a的值
为 ．
3，故由A解析 由题意a?3…2B??1?，得a?1．故填1．
2.（2017天津理1）设集合A??1,2,6?，B??2,4?，C??x?R|?1剟x5?，则
?AB?C?（ ）.
A.?2? B.?1,2,4? C.?1,2,4,6? D.?x?R|?1剟x5? 解析 因为A?{1,2,6},B?{2,4}，所以A从而(AB?{1,2,6}{2,4}?{1,2,4,6}，
B)C?{1,2,4,6}[?1,5]?{1,2,4}.故选B．
3.(2017北京理1)若集合A?x–2 ????B?（ ）. ????????-2-113 x4.（2017全国1理1）已知集合A?xx?1，B?x3?1，则（ ）. A. A????B??xx?0? B. AB?R C. AB??xx?1? D. AB?? 1 解析 A??xx?1?，B??x3x?1???xx?0?，所以AB??xx?0?，AB??xx?1?.故选A. 5.2017全国2理2）设集合A??1,2,4?，B?xx?4x?m?0.若A2??B?1，则B?（ ）. A．?1,?3? B．?1,0? C．?1,3? D．?1,5? 解析 由题意知x?1是方程x2?4x?m?0的解，代入解得m?3，所以x2?4x?3?0的解 3?.故选C. 为x?1或x?3，从而B??1， 6.（2017全国3理1）已知集合A=(x,y)x?y?1，B?(x,y)y?x，则A元素的个数为（ ）. A．3 B．2 C．1 D．0 ?22???B中 22解析 集合A表示圆x?y?1上所有点的集合，B表示直线y?x上所有点的集合，如图 所示，所以A为2.故选B. B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数 yx+y=1O22y=x x7.（2017山东理1）设函数y?4?x2的定义域A，函数y?ln?1?x?的定义域为B，则 AB?（ ）. A.?1,2? B.?1,2? C.??2,1? D.??2,1? 2?.由1?x?0，解得x?1，所以x2，所以A???2，解析 由4?x2…0，解得?2剟B????,1?. 从而AB=?x|?2剟x2??x|x?1???x|?2?x?1?.故选D. 8.(2017浙江理1)已知集合P?x?1?x?1，Q?x0?x?2，那么P????Q?（ ）. 2 A.??1,2? B.?01，? C.??1,0? D.?1,2? 解析 P Q是取P,Q集合的所有元素，即?1?x?2.故选A． 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 题型4 四种命题及真假关系 221.（2017山东理3）已知命题p:?x?0，ln?x?1??0；命题q:若a＞b，则a?b，下 列命题为真命题的是（ ）. A.p?q B.p??q C.?p?q D.?p??q 解析 由x?0?x?1?1，所以ln(x?1)?0恒成立，故p为真命题； 令a?1，b??2，验证可知，命题q为假.故选B. 题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断 1.（2017天津理4）设??R，则“??1ππ?”是“sin??”的（ ）. 21212A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ??1ππ?1ππsin??，??0????sin??.但??0，?，不满足??212126212121ππ?”是“sin??”的充分不必要条件.故选A. 21212所以“??2.(2017北京理6)设m，n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是“m?n<0”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若???0，使m??n，即两向量方向相反，夹角为180，则m?n?0.若m?n?0，也可能夹角为90,180??，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A. 3 ?3.(2017浙江理6)已知等差数列?an?的公差为d，前“S4+S6?2S5”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 n项和为Sn，则“d?0”是 解析 S4?S6?4a1?6d?6a1?15d?10a1?21d，2S5?10a1?20d. 当d?0时，有S4?S6?2S5，当S4?S6?2S5时，有d?0．故选C． 题型6 充分条件、必要条件中的含参问题 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假 题型8 全（特）称命题 题型9 根据命题真假求参数的范围 4 第二章 函数 第一节 函数的概念及其表示 题型10 映射与函数的概念 题型11 同一函数的判断 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解 第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性 题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性 1.（2017山东理15）若函数exf?x?（e?2.71828是自然对数的底数）在f?x?的定义域上 单调递增，则称函数f?x?具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 . ①f?x??2?x ②f?x??3?x x ③f?x??x3 ④f?x??x2?2 ?e??xxx?x解析 ①y=ef?x??e?2???在R上单调递增，故f?x??2具有M性质； ?2??e??xxx?x②y=ef?x??e?3???在R上单调递减，故f?x??3不具有M性质； ?3?③y=ef?x??e?x，令g?x??e?x，则g??x??e?x?e?3x?xexx3x3x3x22xx?x?3?， xx3所以当x??3时，g??x??0；当x??3时，g??x??0，所以y=ef?x??e?x在 ???,?3?上单调递减，在??3,???上单调递增，故f?x??x3不具有Mxx2x2④y=ef?x??ex?2.令g?x??ex?2， 性质； ????则g??x??e上单调 x?x22xx2?2??ex?2x?ex??x?1??1??0，所以y=ef?x??e?x?2?在R??5 递增，故f?x??x?2具有M性质． 2综上所述，具有M性质的函数的序号为①④. 题型17 函数的奇偶性和单调性的综合 1.（17江苏11）已知函数f?x??x?2x?e?3x1， 其中e是自然对数的底数．若xef?a?1??f?2a2??0，则实数a的取值范围是 ． 解析 易知f?x?的定义域为R. 因为f??x????x??2??x??e所以f?x?是奇函数． 又f??x??3x?2?e?2x3?x?113x??x?2x?e???f?x?， ?xxee12…3x…0，且f??x??0不恒成立，所以f?x?在R上单调xe递增． 222因为f?a?1??f2a?0，所以f?a?1???f2a?f?2a，于是a?1??2a， ??????2即2a?a?1?0，解得x???1,?．故填??1,?． 222??1????1??2.（2017天津理6）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)?xf(x).若a?g(?log25.1)， b?g(20.8)，c?g(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）. A.a?b?c B.c?b?a C.b?a?c D.b?c?a 解析 因为奇函数f(x)在R上增函数，所以当x?0时，f(x)?0，从而g(x)?xf(x)是R上的偶函数，且在(0,??)上是增函数.a?g??log25.1??g?log25.1?，20.8?2，又 4?5.1?8，则 2?log25.1?3，所以0?20.8?log25.1?3，于是 g?20.8??g?log25.1??g?3?，即b?a?c.故选C. 6 ?1?3.(2017北京理5)已知函数f?x??3???，则f?x?（ ）. ?3?xxA.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数 C.是奇函数，且在R上是减函数 xx D.是偶函数，且在R上是减函数 ?x?1??1? 解析 由题知f?x??3???，f??x??3?x????3??3?x?1x所以f?x?为?3??f?x?，x3?1?奇函数.又因为3x是增函数，???也是增函数，所以f?x?在R上是增函数.故选A. ?3?4.（2017全国1理5）函数f?x?在???,???单调递减，且为奇函数．若f?1???1，则满足?1剟f?x?2?1的x的取值范围是（ ）. A．[?2,2] B． [?1,1] C． [0,4] D． [1,3] f?x?2?1等价于 解析 因为f?x?为奇函数，所以f??1???f?1??1，于是?1剟f?1?剟f?x?2?f??1?，又f?x?在???，???单调递减，所以?1剟x3.故x?21，所以1剟选D. 题型18 函数的周期性 1.（2017江苏14）设f?x?是定义在R且周期为1的函数，在区间?0,1?上， ?x2,x?D??n?1f?x???．其中集合D??xx?,n?N*?，则方程f?x??lgx?0的解 n???x,x?D的个数是 ． 解析 由题意f?x???0,1?，所以只需要研究x??1,10?内的根的情况． 在此范围内，x?Q且x?D时，设x?q,p,q?N*,p…2，且p,q互质， pn,m,n?N*,m…2，且m,n互质. m若lgx?Q，则由lgx?(0,1)，可设lgx?nmmq?q?从而10?，则10n???，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx?Q， p?p?7 于是lgx不可能与x?D内的部分对应相等， 所以只需要考虑lgx与每个周期内x?D部分的交点. 如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除?1,0?外，其它交点均为x?D的部分． 且当x?1时，?lgx??x?1?1xln10x?1?1?1，所以在x?1附近只有一个交点， ln10因而方程解的个数为8个．故填8． 第三节 二次函数与幂函数 题型19 二次函数图像及应用 题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 1.(2017浙江理5)若函数f?x??x?ax?b在区间01，上的最大值是M，最小值是m， 2??则M?m（ ）. A. 与a有关，且与b有关 B. 与a有关，但与b无关 C. 与a无关，且与b无关 D. 与a无关，但与b有关 2解析 函数f?x??x?ax?b的图像是开口朝上且以直线x??a为对称轴的抛物线. 2①当?aa?1或??0，即a??2，或a?0时，函数f?x?在区间?0,1?上单调，此时22M?m?f?1??f?0??1?a，故M?m的值与a有关，与b无关； ②当剟?12aa??a??1，即?2剟a?1时，函数f?x?在区间?0,??上单调递减，在??,1?上22??2??单调递增， 8 2?a?a且f?0??f?1?，此时M?m?f?0??f????，故M?m的值与a有关，与b无 24??关； ③当0??a1a??a???，即?1?a?0时，函数f?x?在区间?0,??上单调递减，在??,1?上222??2??单调递增， a2?a?且f?0??f?1?)，此时M?m?f?1??f????1?a?，故M?m的值与a有关， 4?2?与b无关. 综上可得，M?m的值与a有关，与b无关.故选B． 题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型22 二次函数恒成立问题 1.（2017天津理8）已知函数 x，设a?R，若关于x的不等式f?x?…?a2在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）. ?47??4739?? D.??23,39? ?23,2A.??,2? B.??,? C.????16??16??1616???xx解析 解法一：易知f?x?≥0，由不等式f(x)…?a，得?f(x)剟?af(x)， 即 22xxxx?f(x)?剟af(x)?，只需要计算g(x)??f(x)?在R上的最大值和h(x)?f(x)?在 2222R上的最小值即可， 1x1?4747?当x?1时，g(x)??x??3???x?????（当x=时取等号）， 24?16164?22333?3939?h(x)?x?x?3??x???…（当x?时取等号）， 24?16164?22所以?4739剟a； 16169 322?23?3当x?1时，g(x)??x????x????23（当x?时取等号）， 2x2x3??x2x2?…2??2（当x=2时取等号）， 2x2xh(x)?a2. 所以?23剟综上所述，得?47剟a2．故选A． 16x?a的图像，如图所示. 2解法二：分别作出函数和y?2xx若对于任意x?R，f?x?…?a恒成立，则满足x?…?a?x?1?且 2x2x2x2xx2??2，当且仅x2?x?3厔??a?x1?恒成立，即a???x?1?，又??22x2x22x当 x2?时，即x?2时取等号，所以a?2. 2x2x?且?a剟x?3?x1?，则?a?24747?2x?x??3?a??，即. ??21616??min综上所述，a的取值范围为???47?,2?.故选A. ?16?44?上的最大值是5，?a?a在区间?1，x2.(2017浙江理17)已知a?R，函数f?x??x?则a的取值范围是 . 解析 设t?x?4，则f(t)?t?a?a，t??4,5?. x?)?f(4?，即?)??f(5??4a?a?5或 ?5a??a5解法一：可知f(t)的最大值为max?f(4),f(5)???a?4.5?f(4)?4?a?a?5， 解得?或 ?a?5f(5)?5?a?a?5????a?4.5，所以a?4.5．则a的取值范围是???,4.5?. ?a?5?解法二：如图所示，当a?0时，f(t)?t?a?a?t?5成立； 10 当0?a?t时，f(t)?a?t?a?0?t?5成立； 当a?t时，f(t)?t?a?a?a?t?a?5成立，即a?4.5. 则a的取值范围是???,4.5?. y04t5a3O1122x 题型23 幂函数的图像与性质 第四节 指数函数与对数函数 题型24 指（对）数运算及指（对）数方程 1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 MN最接近的是（ ）.（参考数据： lg3?0.48） A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 M3361 解析 设 两边取对数lgx?lg3361?lg1080?361?lg3?80，即x?93.28，?x?80， N10所以接近1093.故选D. xyz2.（2017全国1理11）设x，y，z为正数，且2?3?5，则（ ）. 11 A．2x?3y?5z B．5z?2x?3y C．3y?5z?2x D．3y?2x?5z 解析 设2x?3y?5z?t，两边取对数得xln2?yln3?zln5?lnt，则2x?2lnt ln2lnx?13lnt5lntx?fx???3y?，5z?，lnt?0.设f?x??，2，当x??0,e?时， ?lnx?ln3ln5lnxf??x??0，f?x?单调递减；当x??e,???时，f??x??0，f?x?单调递增.而 2x?f?4?lnt， 3y?f?3?lnt，5z?f?5?lnt.由e<3<4<5，得3y?2x?5z.故选D. 题型25 指（对）数函数的图像及应用 题型26 指（对）数函数的性质及应用 第五节 函数的图像及应用 题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像 题型29 函数图像的应用 ?x?1，x?01.（2017全国3理15）设函数f?x???x，则满足f?x???2，x?01??f?x???1的x的取值 2??范围是_________. ?x?1,x≤0解析 因为f?x???x，f?x???2 ,x?01??f?x???1，即 2??1??f?x???1?f?x?.由图像变换可 2??1??f?x???1?f?x?的解 2??1??作出y?f?x??与y?1?f?x?的图像如图所示.由图可知，满足 2???1?集为??,???. ?4?12 y1y?f(x?)211(?,)441O?2 12x y?1?f(x)2.（2017山东理10）已知当x??0,1?时，函数y??mx?1?的图像与y?2x?m的图像有 且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）. A.?0,1?C.0,2???23,?? B.?0,1????3,??? ?3,??? 1. m??23,?? D.0,2???2??22解析 解法一：y??mx?1??mx?2mx?1过点?0,1?且对称轴为x?当0?m?1时， 21?1，从而y?m2x2?2mx?1在区间?0,1?上单调递减，函数my??mx?1?与y?x?m的草图如图所示，此时有一个交点； y1mO1x 当m?1时，1?1??1??1，所以y?m2x2?2mx?1在区间?0，?上单调递减，在区间?,1?上m?m??m?2单调递增.若函数y??mx?1?与y?x?m有一个交点，草图如图所示，则 ?m?1?1?2?1?m，解得m…3； 13 ymO11m当m?1时，函数y??x?1?与y?综上所述，m的取值范围是?0,1?解法二：若m?2，则y?2x x?1显然在区间?0,1?有且只有一个交点为?0,1?. +??.故选B. ?3，?2x?1,x??0,1?的值域为?0,1?；y?x?2,x??0,1??2的值域为?2,1?2?，所以两个函数的图像无交点，故排除C、D；若m?3，则点?1,4???是两个函数的公共点.故选B. 第三章 导数与定积分 第一节 导数的概念与运算 题型30 导数的定义 题型31 求函数的导数 题型32 导数的几何意义 1.(2017北京理19)已知函数f?x??ecosx?x. x（1）求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程； （2）求函数f?x?在区间?0,?上的最大值和最小值. 214 ???π???解析 （1）因为f(x)?excosx?x，所以f?(x)?ex(cosx?sinx)?1，f?(0)?0. 又因为f(0)?1，所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?1. （ 2 ） 设 h(x)?ex(cosx?sinx)?1，则 h?(x)?ex(cosx?sinx?sinx?cosx)??2exsinx. 当x??0,??π??π??h(x)?0h(x)0,?上单调递减. 时，，所以在区间??2??2??π???所以对任意x??0,?，有h(x)?h(0)?0，即f?(x)?0. 2?π?f(x)所以函数在区间?0,?上单调递减. ?2?因此f(x)在区间?0,?上的最大值为f(0)?1，最小值为f????. 2?2??2? ?π??π?π第二节 导数的应用 题型33 利用导数研究函数的单调性 题型34 利用导函数研究函数的极值与最值 1.（2017江苏20）已知函数f?x??x3?ax2?bx?1?a?0,b?R?有极值，且导函数f??x?的极值点是f?x?的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b?3a； （3）若f?x?，f??x?这两个函数的所有极值之和不小于?27，求a的取值范围． 2解析 （1）由f?x??x3?ax2?bx?1，得f??x??3x2?2ax?b， aa2当x??时，f??x?有极小值为b?． 3315 因为f??x?的极值点是f?x?的零点， 2a23a3a3ab?a??． 所以f????????1?0，又a?0，故b?9a2793?3?当???2a??12b?0时，f??x??3x2?2ax?b…0恒成立，即f?x?单调递增， 所以此时f?x?不存在极值，不合题意． 2?2a23?129a3?27???a???0，所以a?3． 因此??4a?12b?0，即a?3?a?3a3a?922?a?a2?3b?a?a2?3bf?(x)=0有两个相异的实根x1=，x2=. 33列表如下 x (??,x1) + x1 0 极大值 (x1,x2) – x2 0 极小值 (x2,??) + f?(x) f(x) 故f(x)的极值点是x1,x2，从而a?3. 2a23?，定义域为?3,???． 所以b关于a的函数关系式为b?9a?2a23?4a494???3a，即?2?a?3a， （2）解法一：由（1）知，即证明?9a81a3??因为a?0，所以问题等价于4a?135a?729?0， 不妨设t?a，则t??27,???，不妨设g?t??4t2?135t?729， 3632易知g?t?在?135?135?,???上单调递增，且?27， 8?8?63从而g?t??g?27??4?272?135?27?729?0，即4a?135a?729?0得证． 因此b?3a． 解法二（考试院提供）：由（1）知，2b2aa3． =?9aaa16 2t3232t2?27设g?t?=?，则g??t?=?2?． 9t9t9t2?36??36?,???时，g??t??0，从而g?t?在?,???上单调递增． 当t??22????因为a?3，所以aa?33，故gaa?g33?????3，即b>3， a因此b?3a． （3）由（1）设f??x??3x2?2ax?b?0的两个实根为x1,x2，且设x1?x2， 22?x?x??a12?4a2?6b?322且有?，因此x1?x2?． 9?x1x2?1b?3?而f?x?的情况如下表所示： x ???,x1? ? x1 0 极大值 ?x1,x2? ? x2 0 极小值 ?x2,??? ? f??x? f?x? 所以f?x?的极值点是x1,x2， 332从而f?x1??f?x2??x1?ax12?bx1?1?x2?ax2?bx2?1= x1x12223x12?2ax1?b??2?3x2?2ax2?b??a?x12?x2?b?x1?x2??2= ??3333122a?x12?x2?b?x1?x2??2= ?334a32a?2a23?4a32ab?????2?0． ??2?273?9a?273记f?x?，f??x?所有极值之和为h?a?， 13a213??a2?，所以h?a???a2?，a?3． 因为f??x?的极值为b?9a39a17 处理方法一：因为h??a?=?23a?2?0，于是h?a?在?3,???上单调递减． 9a因为h?6?=?7，由h?a?…h?6?，故a?6． 21237a?…?，整理得2a3?63a?54?0（必然可以猜测9a2处理方法二：所以h?a???零点）， ?a?6??2a2?12a?9??0，因此a?6． 因此a的取值范围为?3,6?． 评注 ①此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的． ②第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考． 案例1：已知函数f?x??ax?x2?lnx，若函数f?x?存在极值，且所有极值之和小于 5?ln2，则实数a的取值范围是 ． 1?2x2?ax?1解析 因为f??x??a?2x???x?0?， xx设g?x???2x2?ax?1，当??a?8?0时，g?x??0恒成立， 所以f?x?单调递减，故不存在极值； 所以??a?8?0，设g?x???2x2?ax?1?0的两根为x1,x2（不妨设x1?x2）， 22从而x1x2?1?0，因此x1,x2同号， 2所以问题等价于g?x???2x2?ax?1?0在?0,???上有两个不相等的实数根x1,x2， 18 ????a2?8?0?a?因此?x1?x2??0，从而a?22． 2?1?xx??012?2?所以f?x?的所有极值之和为f?x1??f?x2??ax1?x1?lnx1?ax2?x2?lnx2= 22a?x1?x2???x1?x2?2a2a21?2x1x2?lnx1x2???1?ln?5?ln2， 2422因此a?16，解得?4?a?4，又a?22，所以实数a的取值范围是22,4． ??④另外，如果熟悉三次函数对称中心，此题还可以作如下考虑： 即f?x??x3?ax2?bx?1，f??x??3x2?2ax?b，f???x??6x?2a， 令f???x??6x?2a?0，则x??a?a，所以该三次函数的对称中心为??,f3?3?a?? ????．3???2??a?3?a??a???a?因此有f?x1??f?x2??2f????2?????a????b????1?= ?3??3??3?????3????23?a?2a23????23?a????1??0． 2??a??b?1??2??a???2739a??????27?3???这里可以采用假算的思想，即写出简单过程，省去中间过于复杂的运算过程，直接写出结果即可，这需要平时积累一些有价值的素材． 案例2：（徐州15-16高二下学期期末文20）已知函数f?x??x2?4x?alnx?a?R,a?0?，f??x?为函数f?x?的导函数． （1）若a?1，求曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程； （2）求函数f?x?的单调区间； （3）若存在实数x1,x2，且x1?x2，使得f??x1??f??x2??0，求证：f?x2???4． 解析 （1）若a?1，则f?x??x2?4x?lnx，f??x??2x?4?所以切线斜率为f??1???1，又f(1)??3， ??1， x19 所以y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程为x?y?2?0． ??a2x2?4x?a（2）f??x??2x?4??，x?0． xx2时，f??x?…①当a…0恒成立，所以f?x?的单调增区间为?0,???； ②当0?a?2时，令f??x??0，得0?x?所以f?x?的单调增区间为?0,2?4?2a2?4?2a或x?， 22???2?4?2a??2?4?2a,??和???， 22????2?4?2a2?4?2a?,同理f?x?的单调减区间为??； 22??③当a?0时，令f??x??0，得x?所以f?x?的单调增区间为?2?4?2a． 2?2?4?2a?,???，同理f?x?的单调减区间为 2???2?4?2a??0,?． 2??（3）由题意可知，x1,x2是方程2x?4x?a?0?0?a?2?的两根， 2则x2?2?4?2a2??1,2?，a?4x2?2x2， 2222所以f?x2??x2?4x2?alnx2?x2?4x2?4x2?2x2lnx2． 22令g?x??x?4x?4x?2xlnx，x??1,2?． ????则g??x??4?1?x?lnx?0恒成立，所以g?x?在?1,2?上单调递减， 所以g?x??g?2???4，即f?x2???4． 2.（2017山东理20）已知函数f?x??x2?2cosx，g?x??ex?cosx?sinx?2x?2?，其中 e?2.71828是自然对数的底数. （1）求曲线y?f?x?在点??,f????处的切线方程； 20 题型63 平面向量的坐标运算 1.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy中，点A??12,0?，B?0,6?，点P在圆 O:x2?y2?50上．若PA?PB?20，则点P的横坐标的取值范围是 ． 解析 不妨设P?x0,y0?，则x0?y0?50，且易知x0???52,52?． 22??因为PA?PB?AP?BP??x0?12,y0???x0,y0?6?? 22x0?12x0?y0?6y0?50?12x0?6y0?20，故2x0?y0?5?0． 22所以点P?x0,y0?在圆O:x?y?50上，且在直线2x?y?5?0的左上方（含直线）. ?x2?y2?50联立?，得x1??5，x2?1，如图所示，结合图形知x0???52,1?．故 ???2x?y?5?0填??52,1?． ??yB(1,7)OA(-5,-5)52x2x-y+5=0 评注 也可以理解为点P在圆x0?y0?12x0?6y0?20的内部来解决，与解析中的方法一致． 题型64 向量共线（平行）的坐标表示 22第二节 平面向量的数量积 题型65 平面向量的数量积 1.（2017天津理13）在△ABC中，∠A?60，AB?3，AC?2.若BD?2DC， AE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________. 解析 解法一：如图所示，以向量AB，AC为平面向量的基底，则依题意可得 46 AB?AC?ABACcos60?3?2?1?3.又因为BD?2DC， 2则AD?AB?BD?AB?2221BC?AB?AC?AB?AC?AB， 3333??则?4?AD?AE?222?1113??2?AC?AB????AC?AB???5，解得??. 33311?33?CDAB 解法二：以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得A?0,0?，B?3,0?，C1,3，AB=?3,0?，BC??2,3，AC=1,3. 则可得AD?AB?BD?AB????????523?2BC??,???，AE??AC?AB???3,3?，于333????是有?4?AD?AE?5113???3??2????5，解得??. 3311yCDABx 2.(2017北京理6)设m，n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是“m?n<0”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若???0，使m??n，即两向量方向相反，夹角为180，则m?n?0.若m?n?0，也可能夹角为90,180??，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A. ?b的夹角为60，a?2，3.（2017全国1理13）13.已知向量a， b?1，则a?2b? . 212222 解析 a?2b?(a?2b)2?a?2?a?2b?cos60??2b??2?2?2?2??2? 247 4?4?4?12，所以a?2b?12?23. 4.（2017全国2理12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 PA?(PB?PC)的最小值是（ ）. A.?2 B.?34 C. ? D.?1 23解析 解法一（几何法）：如图所示，取BC的中点D，联结AD，取AD的中点E，由 PB?PC?2PD，则PA?PB?PC?2PD?PA?2PE?ED?PE?EA?2PE?ED???????22?? 2?213?212?PE?AD?…?AD??，当且仅当PE2?0，即点P与点E重合时，取得最小值为 422??3?，故选B. 2APEBDC 解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC的中点为坐标原点， B??1，0?，C?1，0?．PA??x，3?y，PB???1?x，?y?，所以A0，3，设点P?x，y?， 2???33?222y???， PC??1?x，?y?，所以PA?PB?PC?2x?23y?2y?2?x?????2???4?????????3?3?3则其最小值为2??????，此时x?0，y?．故选B. 2?4?2 5.（2017全国3理12）在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上． 48 若AP??AB??AD，则???的最大值为（ ）. A．3 B．22 C.5 D．2 解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD与C切于点E，联结CE．以点 A为坐标原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则点C坐标为 (2,1)．因为|CD|?1，|BC|?2．所以BD?12?22?5．因为BD切C于点E．所以CE ⊥BD．所以CE是Rt△BCD斜边BD上的高．EC?2S△BCDBD即C的半径为12??BC?CD225， ?2??BD5542522．因为点P在C上．所以点P的轨迹方程为(x?2)?(y?1)?． 55?25x?2?cos??0?5设点P的坐标为(x0,y0)，可以设出点P坐标满足的参数方程?， 25?y?1?sin?0?5?而AP?(x0,y0)，AB?(0,1)，AD?(2,0)． 因为AP??AB??AD??(0,1)??(2,0)?(2?,?)， 所以??1525x0?1?cos?，??y0?1?sin?． 25522?25??5?255 两式相加得????1?sin??1?cos??2???5?????5??sin??????55????2?sin(???)≤3 (其中sin??5，cos??25)， 55当且仅当??π?2kπ??，k?Z时，???取得最大值为3．故选A. 2yBEA(O)DPC x解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得???的最大值为3. 49 ABDλ+μ=2Cλ+μ=3 6.（2017山东理12）已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60，则实数?的值是 . 解析 ?23e1?e2??e1??e2??3e12?3?e1?e2?e1?e2??e2?3??， ?3e1?e2??3e1?e22?22?3e12?23e1?e2?e2?2， e1??e2??e1??e2?2?e12?2?e1?e2??2e2?1??2， 所以3???2?1???cos60?1??，解得??223． 37.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形ABCD，AB?BC，AB?BC?AD?2， CD?3，AC与BD交于点O，记I1?O则（ ）. AO·B ，I2?OBOC·，I3?OC·OD， A．I1?I2?I3 C．I3?I1?I2 B．I1?I3?I2 D．I2?I1?I3 D解析 如图所示，动态研究问题:D￠?D，O￠?O．此时有?AOB90o， AD'?BOC90o，?CODuuruuurOA?OB90o，且CO>AO，DO>BO． uuuruuurOC?OD. B OO'故OB?OCuuuruuurCb满足a?1，b?2，8.(2017浙江理15)已知向量a，则a?b?a?b最大值是 . 的最小值是 ， 解析 解法一：如图所示，a+b和a?b是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线，则 50 搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新高中教育2018年高考理科数学考前分章节复习资料,往届高考题专题分析(共15全文阅读和word下载服务。
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