2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析
科目: 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理
科) 知识点检索号 新课标 题目及解析 (1)复数z?1?i,z为z的共轭复数,则zz?z?1? (A)?2i (B)?i (C)i (D)2i 【思路点拨】先求出的z共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。 【精讲精析】选B.z?1?i,zz?z?1?(1?i)(1?i)?(1?i)?1??i. (2)函数y?2x(x≥0)的反函数为 x2(x?R) (A)y?4(C)y?4x(x?R) 2x2(x≥0) (B)y?4(D)y?4x(x≥0) 2【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围,它是反函数的定义域。 y2【精讲精析】选B.在函数y?2x(x≥0)中,y?0且反解x得x?,所以4x2y?2x(x≥0)的反函数为y?(x?0). 4(3)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是 (A)a>b?1 (B)a>b?1 (C)a2>b2 (D)a3>b3 【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出a>b,而由a>b推不出选项的选项. 【精讲精析】选A.即寻找命题P使P?a?b,a?b推不出P,逐项验证可选A。 (4)设Sn为等差数列?an?的前n项和,若a1?1,公差d?2,Sk?2?Sk?24,则 k? (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 第 1 页 共 12 页
【思路点拨】思路一:直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二: 利用Sk?2?Sk?ak?2?ak?1直接利用通项公式即可求解,运算稍简。 【精讲精析】选D. Sk?2?Sk?ak?2?ak?1?2a1?(2k?1)d?2?(2k?1)?2?24?k?5. (5)设函数f(x)?cos?x(?>0),将y?f(x)的图像向右平移所得的图像与原图像重合,则?的最小值等于 (A) ?个单位长度后,31 (B)3 (C)6 (D)9 3【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将y?f(x)的图像向右平??个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了是此函数周期的整数倍。 33?2?【精讲精析】选C. 由题??k(k?Z),解得??6k,令k?1,即得?min?6. 3?移(6)已知直二面角??l??,点A??,AC?l,C为垂足,B??,BD?l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于 (A)236 (B) (C) (D) 1 333【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE,根据面面垂直的性质不难证明AC?平面?,进而平面??平面ABC,所以过D作DE?BC于E,则DE就是要求的距离。 【精讲精析】选C. 如图,作DE?BC于E,由??l??为直二面角,AC?l得AC?平面?,进而AC?DE,又BC?DE,BCIAC?C,于是DE?平面ABC,故DE为D到平面ABC的距离。 在Rt?BCD中,利用等面积法得DE? BD?DC1?26. ??BC33(7)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友每第 2 页 共 12 页
位朋友1本,则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【思路点拨】本题要注意画册相同,集邮册相同,这是重复元素,不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。 1【精讲精析】选B.分两类:取出的1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有C4?4种;2取出的2本画册,2本集邮册,此时赠送方法有C4?6种。总的赠送方法有10种。 (8)曲线y=e(A)?2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 112 (B) (C) (D)1 323【思路点拨】利用导数求出点(0,2)切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交 点问题即可解决。 【精讲精析】选A.y???2e中作出示意图,即得S? (9)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1?x),则f(?)= (A) -?2x,y?|r?0??2切线方程是:y??2x?2,在直角坐标系121?1??。 233521111 (B)? (C) (D)4242 【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量?上进行求值。 【精讲精析】选A. 5转化到区间[0,1]2先利用周期性,再利用奇偶性得: f(?)?f(?)??f()??25212121. 2(10)已知抛物线C:y?4x的焦点为F,直线y?2x?4与C交于A,B两点.则cos?AFB= (A)3344 (B) (C)? (D)? 5555【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。 【精讲精析】选D. 第 3 页 共 12 页
?y2?4x2联立?,消y得x?5x?4?0,解得x?1,x?4. ?y?2x?4不妨设A在x轴上方,于是A,B的坐标分别为(4,4),(1,-2), 可求AB?35,AF?5,BF?2,利用余弦定理AF2?BF2?AB24cos?AFB???. 2AF?BF5 (11)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4?,则圆N的面积为 (A)7? (B)9? (C)11? (D)13? 【思路点拨】做出如图所示的图示,问题即可解决。 【精讲精析】选B. 作示意图如,由圆M的面积为4?,易得0MA?2,OM?OA2?MA2?23, Rt?OMN中,?OMN?30o。 故MN?OM?cos30?3,S???3?9?.. o2rrrrrrrr1rrrroa,b,c|c(12)设向量满足|a|?|b|?1,a?b??,?a?c,b?c??60,则|的最大值2等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1 【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图 r形,然后分析观察不难得到当线段AC为直径时,|c|最大. 【精讲精析】选A.如图,构造 uuurruuurruuurrAB?a,AD?b,AC?c,?BAD?120o,?BCD?60o,, r所以A、B、C、D四点共圆,分析可知当线段AC为直径时,|c|最大,最大值为2. 第 4 页 共 12 页
(13)(1-x)的二项展开式中,x的系数与x的系数之差为: . 209rn?r【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式,另一个要注意Cn?Cn. 218r【精讲精析】0. 由Tr?1?C20, x9的系数为C20,而(?x)20得x的系数为C20182C20?C20. (14)已知a∈(5?,?),sinα=,则tan2α= 52【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围,再求出正切值,最后利用正切函数的倍角公式即可求解。 【精讲精析】?4.由3a∈(?,?),sinα=25得5cos???25sin?1,tan????, 5cos?2tan2??2tan?4. ??21?tan?3y2x2(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为279(2,0),AM为∠F1AF2的平分线.则|AF2| = . 【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。 【精讲精析】6. 由角平分线定理得:|AF2||MF2|1??,|AF1|?|AF2|?2a?6,故|AF2|?6. |AF1||MF1|2(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上,且B1E=2EB, CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 【思路点拨】本题应先找出两平面的交线,进而找出或做出二面角的平面角是解决此 问题的关键,延长EF必与BC相交,交点为P,则AP为面AEF与面ABC的交线. 【精讲精析】2.延长EF交BC的延长线于P,则AP为面AEF与面ABC的交线,因3o为?CAP?90,所以?FCA为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。 第 5 页 共 12 页
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