(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n2+2n,得即则
-=2,所以数列
=2,
是首项=1,公差d=2的等差数列.
=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
2.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*), (1)当a2= -1时,求λ的值及a3的值;
(2)是否存在λ,使数列{an}为等差数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由. 【解题导思】 序号 联想解题 (1) (2) 等差数列的定义判断 【解析】(1)因为an+1=(n2+n-λ)an,a1=1, a2=-1, 所以-1=(2-λ)×1,解得λ=3. 所以a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)不存在λ,使数列{an}为等差数列,说明如下: 因为a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*). 所以,a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ),
若存在实数λ,使数列{an}为等差数列.
看到an+1=(n2+n-λ)an,想到数列的递推公式 看到an+1=(n2+n-λ)an,结合(1)想到若数列{an}为等差数列,可求λ,结合
则a1+a3=2a2,即1+(6-λ)(2-λ)=2(2-λ), 解得:λ=3.
此时a2=2-λ=2-3=-1,a3=(6-λ)(2-λ)=-3,a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ)=-27, a2-a1=-1-1=-2,而a4-a3=-24. 所以,数列{an}不是等差数列, 即不存在λ使数列{an}为等差数列.
1.判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数. (2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1. (3)通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数). (4)前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数). 说明:证明数列{an}是等差数列的最终方法只能用定义法和等差中项法.
2.证明某数列不是等差数列
若证明某数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可.
已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110. (1)求a及k的值; (2)已知数列{bn}满足bn=项和Tn.
,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n
【解析】(1)设该等差数列为{an}, 则a1=a,a2=4,a3=3a,
由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以Sk=ka1+
·d=2k+
×2=k2+k.
由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去), 故a=2,k=10. (2)由(1)得Sn=n(n+1), 则bn==n+1,
故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列, 所以bn=n+1, 所以Tn=
=
.
考点三 等差数列性质及其应用
命 考什么:(1)等差数列性质.(2)等差数列前n项和的最值 题 怎么考:等差数列性质作为考查等差数列运算知识的最佳载体,因其考查精 知识点较多成为高考命题的热点 解 新趋势:解题过程中常常渗透数学运算的核心素养. 读 学 1.等差数列常用性质和结论的运用
霸 好 方 法 2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法 (2)通项变号法 3.交汇问题 数列与不等式结合考查分类讨论思想、数列与函数结合考查数形结合思想 与等差数列项的性质有关的运算
【典例】1.(2020·武汉模拟)在等差数列{an}中,前n项和Sn满足S7-S2=45,则a5= ( ) A.7 B.9 C.14 D.18
【解析】选B.因为在等差数列{an}中,S7-S2=45, 所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45, 所以a5=9.
【一题多解】选B.设等差数列{an}的公差为d, 因为在等差数列{an}中,S7-S2=45, 所以7a1+
d-(2a1+d)=45,
整理得a1+4d=9, 所以a5=9,故选B.
2.(2020·太原模拟)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则a6= ( )
A.8 B.6 C.4 D.3
【解析】选D.由等差数列的性质可知2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=2×3a3+3
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