高等流体力学第1讲

ρ=ρ（x，t）， u=u（x，t）。

同样定义二维场和三维场，即

ρ=ρ（x，y，t）， u=u（x，y，t）。 ρ=ρ（x，y，z，t）， u=u（x，y，z，t）。

用几何图形来表述场便于直观地理解问题，并且有实用价值。在空间标量场φ(r, t)中，由φ(r, t)=c的点组成的面称为等值面，平面场φ(r, t)=c的点构成的线称为等值线。我们可以依据等值面或等值线的相互位置和它的疏密程度看出标量场的变化情况。例如，等值线比较密的地方场的变化较为剧烈；等值线比较疏的地方场的变化较为平缓。

可用矢量线表述矢量场。矢量线是指矢量场中的这样一条曲线，在某一瞬时该曲线上每一点的切线方向与该点的场的方向重合。由此可见，以前所学过的电力线、磁力线和流线等都是矢量线。设dr是矢量场u的矢量线的切向微元矢量，则由dr∥u的平行条件u×dr=0可得

dzdydx==。

ux(x,y,z,t)uy(x,y,z,t)uz(x,y,z,t) 矢量线不仅可以反映出矢量场的方向，而且还可以反映出矢量场中矢量大小，矢量线密集处矢量较大，反之亦然。 （七）标量场梯度（gradient）

n s M1 给定的标量场φ(r, t)如图1-7所示。M’φ＝c1

过M点等值面φ(r, t)=φ(M, t)=c及等值面的法线方向n，n指向增加的方向。再在Mφ＝c 法线n上取一个与M点无限接近的点

图1－7 标量场的梯度 M1，过M1点作等值面φ(r, t)= φ(M1,

t)=c1。现在我们过M点再作任意方向的

矢量s，与φ=c1交与M’点。根据方向导数的定义，则n、s方向上的导数可分别表示为

φ(M1)?φ(M)?φ， ?lim?nMM?0MM11???(M')??(M)， ?limMM?0?sMM'1从图中可以看出MM1=MM'cos(n,s)，而φ(M1, t)=φ(M’, t)。所以有

???s=lim?(M')??(M)MM'MM1?0MM1?0

MM1 =cos(n,s)lim =cos(n,s)?(M1)??(M)

?? ?n上式表明，任意方向上的方向导数???s都可以通过???n及s与n两方向间夹角的余弦表示出来。也就是说，如果知道了等位面φ=c的法线方向的导数，则其他任意方向上的方向导数即可求出求出，并且变化最快。

现在定义：大小为???n，方向为n的矢量称为标量φ的梯度，用

gradφ=??n ?n????≥，即标量场φ在n方向上的?n?s来表示。由此可见，梯度gradφ既反映了φ增加最快的方向，也反映了该方向的方向导数的大小。上式两端分别与直角坐标系中的三个基矢量i、j、k作数量积，可得直角坐标系下梯度的3个分量分别为

??????n·i=； cos(i,s)=?n?n?x??????gradφ·j=n·j=； cos(j,s)=

?y?n?ngradφ·i=

gradφ·k=

??????n·k=。 cos(k,s)=?n?n?z??????i?j?k=??。 ?x?y?z上三式即是gradφ在三个坐标轴上的分量。所以有

gradφ=

式中?=

???i?j?k，称为哈密尔顿算符，是场论中一个非常重要的算符。 ?x?y?z总结起来，梯度的主要性质是：

（1）梯度表述了场内任意一点处的邻域内的变化情况，它是标量场不均匀性的度量；

（2）梯度的方向与等值面的法线方向重合，并且指向增加的方向； （3）梯度在任意方向上的投影等于该方向上的方向导数； （4）沿梯度的方向变化最快。

(八)矢量场的散度（divergence）

给定的矢量场a(r, t)。在场内取一个封闭曲面S，其体积为V，如图B－2所示。在S面上取一微元面积dS，在dS上任取一点M，作S面在M点的法线，则通常取外法线为正方向。令n表示S面上法线方向的单位矢量，则

an=a·n=axcos(n，x)＋aycos(n，y)＋azcos(n，x) 代表矢量a在法线方向的投影。

定义andS为矢量a通过dS的通量，沿曲面积分得a通过S的通量

n S dS M a 图1-8 矢量场的散度

?SandS=?a?ndS=?a?dS。

SS 现定义矢量场a的散度为

diva=limV?0?SandSV=lim?Sa?dSVV?0，

由此可见，矢量a的散度是单位体积表面上的通量。由数学分析中的高斯定理

?diva=

Sa?dS=??? adV

V可以推得直角坐标系中散度表达式为

?ax?ay?az=??a。 ???x?y?z（九）矢量场的旋度（rotation）

给定的矢量场a(r, t)。设M点是场内的一点，在M

点附近取一条无限小的封闭曲线L，如图所示，约定某一方向为正方向。设S为张在曲线L上的曲面，其法线方向的单位矢量为n，n的正方向按照图1-9示的右手法则确定。

线积分

n S · M ?a?dl=?LL(axdx?aydy?azdz)

L

图1-9 矢量场的环量

称为矢量a沿曲线L的环量。 现定义

a?dl?lim

LS?0S为环量面密度（亦即环量对面积的变化率）。不难看出，环量面密度与L所围成

的面元S的方向n有关。例如，在流体情形中，某点附近的流体沿着一个面上呈漩涡状流动时，如果L围成的面元与漩涡面的方向重合，则环量面密度最大；如果所取面元与漩涡面之间有一夹角，得到的环量面密度总是小于最大值；若面元与漩涡面相垂直，则环量面密度等于零。可见，必存在某一固定矢量R，这个固定矢量R在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，R的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值，我们称固定矢量R为矢量a的旋度，记作旋度矢量为

rota=limS?0?La?dlSn。

由数学分析中的斯托克斯定理

a ? d S

? a ? d l ? ? rot

l

S

可以推得直角坐标系中散度表达式为

ijk??zrota=??x??y=??a。

axayaz

习 题

1.综述流体力学研究方法及其优缺点。 2.试证明下列各式：

(1)grad(φ±ψ)=grad(φ)±grad(ψ) (2) grad(φψ)= ψgrad(φ)+ φgrad(ψ)

骣1÷r(3)设r = xi +yj+ zk，则grad?= -?÷3?桫r÷r(4) 设r = xi +yj+ zk，求div(r)= (5) 设r = xi +yj+ zk，则div(r4r)= ?

3.给定平面标量场f及M点处上已知两个方向上的方向导数

?f?f和，求该点处的gradf 。 ?s1?s2