高中数学竞赛平面几何讲义

高中平面几何

(叶中豪)

话 题

几何问题的联系和转化

解题和编题的一些规律

调和点列，反演与配极，调和四边形

完全四边形及其Miquel点

例题和习题

1．△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，E在AC延长线上，且CE＝CD，F在CA延

1长线上，且AF＝CD。求证：BE⊥BF。

2FADCBE

2．AB为半圆直径，C为半圆上一点，由C引AB的垂线，D为垂足。分别在半圆上截

取AE＝AD，BF＝BD。求证：CD平分EF。

CEFADB

3．已知半圆的直径AB的长为2r，半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，

1

AT＝2a（2a＜

rMP），半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离MP、NQ满足＝2AMNQ＝1。求证：AM＋AN＝AB。 ANlQPMNTAB

4．在△ABC的边BC的延长线上取一点D，使CD＝AC，△ACD的外接圆与以BC

边为直径的圆交于C、G两点，直线BG、AC交于E，直线CG、AB交于F。求证：D、E、F三点共线。

AFEGBCD

5．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、

N。求证：S四边形AMIN＝S△IBC。

AENIMFBC

2

6．AC是与BD垂直于E的直径，G是BA延长线上一点，过B作BF∥DG交DA延

长线于F，作CH⊥GF于H。求证：B、E、F、H四点共圆。

GFHBEODA

7．如图，圆O1和圆O2相交于E、F，过E作割线AB，使AE＝EB，过F作割线CD，联AD、BC，并过A作AD的垂线、过B作BC的垂线，设两条垂线相交于P点。 求证：PF⊥CD的充要条件是PA＝PB。

PCBEAO2O1DCF

8．梯形ABCD中，AD∥BC，BA、CD延长交于E，过C作AC垂线，过D作BD垂线，两条垂线交于F。求证：EF⊥AD的充要条件是CF＝DF。

EADFBC

3

9．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与圆O相切于C、D，DE⊥AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DF＝FG。

BDCFGOEA

10．已知：PA、PB是圆O的切线，PCD是割线，过C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。求证：CE＝EF。

PCAEQBFO

11．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线上任一点，过P作任意割线PCD，联结AC、AD，分别与直线OP交于E、F。求证：OE＝OF。

ADFOEDCBP

4