第十章曲线积分与曲面积分

1

第十章 曲线积分与曲面积分

§10.1 第一类曲线积分

内容概要

名称 1.平面曲线：2.空间曲线：1. 若L常用的性质 2. 主要内容 第一类曲线积分 ?Lf(x,y)ds ??f(x,y,z)ds LL1?L1?L2,则?????L2 ?ds?L的弧长 L1.L:??x?x(t)，??t??，其中x(t),y(t)具有一阶连续的导数，则 y?y(t)? ds?x?2?y?2dt， ??Lf(x,y)ds??f[x(t),y(t)]x?(t)2?y?(t)2dt ??2. 计算 (平面曲线) 3. L:y?f(x)， a?x?b，其中f(x)具有一阶连续的导数，则 f(x,y)ds??f[x,f(x)]1?f?(x)2dx abds?1?y?2dx， LL:x?f(y)，c?y?d2，其中f(y)具有一阶连续的导数，则 dds?1?x?dy， 4．L:r??Lf(x,y)ds??f[f(y),y]1?f?(y)2dy c?r(?)，?????，则ds?r2?r?2d? ?Lf(x,y)ds???f(rcos?,rsin?)r2?(r?)2d??x?x(t)??:?y?y(t),??t??，其中x(t),y(t),z(t)具有一阶连续的导数，则 ?z?z(t)?计算 (空间曲线) ds?x?2?y?2?z?2dt ??f(x,y,z)ds??f(x(t),y(t),z(t))x?2?y?2?z?2dt ??2

??n0常用的结论 In??2 sin?d???2 cosn?d??0n?1?In?2,I1?1,I0?n2 例题分析

★★1. 计算

?(x?y)ds，其中L为连接O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)的闭折线。

Ly知识点：第一类曲线积分.

思路: L由三段直线段组成，故要分段积分.

B(0,1)x+y=1oA(1,0)x解： 如图L?OA?AB?BO

则

?(x?y)ds?(?????LOAAB1BO)(x?y)ds

?OA:y?0,0?x?1，ds?1?(y?)2dx?dx，

??(x?y)ds??(x?0)dx?OA01211x? 202?AB:y?1?x,0?x?1，ds?1?(y?)2dx?2dx， ??(x?y)ds??1?2dx?2x0?2

AB011注：利用被积函数定义在AB上，故总有f(x,y)?x?y?1

?BO:x?0,0?y?1，ds?1?(x?)2dy?dy

??(x?y)ds??(0?y)dy?BO011211y?

022?L(x?y)ds?11?2??1?2 . 22BABOOB注：1)

?AB(x?y)ds??(x?y)ds，?(x?y)ds??(x?y)ds

对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大. 2)对

AB段的积分可化为对x的定积分，也可化为对y的定积分，但OA段，OB段则只能化为对

x（或对y）的定积分.

a2a2★★2.计算?Lyds，其中L为圆周x?(y?2)?42.

知识点：第一类曲线积分.

思路: L为圆周用极坐标表示较简单.

3

解：L的极坐标方程：r?asin?,0????

? ds?r2?(r?)2d??(asin?)2?(acos?)2d??ad?

y?rsin??asin2??2

?2 ??Lyds?? asin??ad??2a0?201?1 sin2?d??2a2????a2.

222★3. 计算曲线积分

1ttt??x2?y2?z2ds，其中?为曲线x?ecost,y?esint,z?e,

应于t从0到2的一段弧.

知识点：第一类曲线积分.

思路: ?空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：?ds?(x?)2?(y?)2?(z?)2dt?(etcost)?2?(etsint)?2?e2tdt ?3etdt

?

原式=

?20 1e2t?1?e2t3etdt??203?t3?teedt??2220?3(1?e?2). 2★★★1. 计算曲线积分

??x2?z2?xzds，其中?为球面x2?y2?z2?R2与平面

x?y?z?0的交线。

知识点：第一类曲线积分.

R2思路: ?的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但?满足x?z?xz?，

222故总有

x?z?xz?22R222.

解：?:??x?y?z?R?x?y?z?0222 即

?2R22??:?x?z?xz?2

??x?y?z?0 原式=

??R2RR2 ds?ds??2? R?2? R??222注：1)利用被积函数f(x,y,z)?x?z?xz定义在?上，故总有x?z?xz?2222R22，

4

是常用的一种简化运算的方法.

2)

?为平面x?y?z?0上的一个圆，圆心(0,0,0)，半径为R.

课后习题全解

习题10-1

★1. 设在

x0y面内有一分布着质量的曲线弧L，在点(x,y)处它的线密度为?(x,y)，用对弧长的曲线

积分分别表达： 1) 该曲线弧对x轴、

y轴的转动惯量Ix和Iy；

y.

2) 该曲线弧的质心坐标x和

知识点：第一类曲线积分的概念及物理意义.

思路: xOy面内的一段曲线L，其线密度为?(x,y)，则

1)线段L的质量为： 2)线段L关于x轴和 3)线段L对x轴和

??(x,y)ds

Ly轴的静力矩为：Mx??y?(x,y)ds,My??x?(x,y)ds

LLy轴的转动惯量：Ix??y2?(x,y)ds，Iy??x2?(x,y)ds

LL解：由第一类曲线积分的概念及物理意义得

(1)

Ix??y2?(x,y)ds, Iy??x2?(x,y)ds

LL (2)

x?MyMx?(x,y)dsM??,y?M??(x,y)dsLLxy?(x,y)ds? ???(x,y)dsLL ★2. 计算

?Lx2?y2ds，其中L:x?acost, y?asinx (0?t?2?)。 ?(x?)2?(y?)2dt?(?asint)2?(acost)2dt?adt (acost)2?(asint)2?adt?2a2?

解：法一：ds原式=

?2?0法二：原式=

★3. 计算

?La2ds?a?ds?2a2?.(利用性质2)

L?(x?y)ds，其中L为连接(1,0)，(0,1)两点的直线。

Ly 解：直线方程为：

y?1?x,0?x?1

(0,1)x+y=1ds?1?(y?)2dx?2dx

O(1,0)x5

原式= ★★4．计算

? 1?012dx?2

?L(x4/3?y4/3)ds，其中L为内摆线x2/3?y2/3?a2/3 (a?0)的弧。

?acos3t,y?asin3t,0?t?2?

解：摆线的参数方程为：x

ds?(x?)2?(y?)2dt?(?3asintcos2t)2?(3acostsin2t)2dt ?3asintcostdt?? a4/3(cos4t?sin4t)3asintcostdt

02?

原式

??4?2 a4/3(cos4t?sin4t)3asintcostdt0??50

?12a?12a7/3[?2 costsintdt??2 sin5tcostdt]

07/3??116262[?cost?sint]?4a7/300662★★5. 计算曲线积分

?(x?其中?为螺旋线x?acost, y?asint,z?kt上相应于?y2?z2)ds，

t从0到2?解：ds? 原式

的一段弧。

(x?)2?(y?)2?(z?)2dt

?(?asint)2?(acost)2?k2dt ?a2?k2dt

2?2?? (a2?(kt)2)a2?k2dt??a2?k2(3a2?4?2k2) 03★★6. 计算曲线积分

??x2zyds，其中?为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点(0,0,0)，

zBC1AD3(0,0,2)，(1,0,2)，(1,3,2).

解：如图， 原式=

? ??AB?BC?CD x2zyds

AB：x?0,y?0,z?t(0?t?2)

x2zyds?? 0?ds?0

ABBCy?xAB?BC：x?t,y?0,z?2(0?t?1)，?? x2zyds?? 0?ds?0

BC?CD：x?1,y?t,z?2(0?t?3)，ds?(x?)2?(y?)2?(z?)2dt?dt ?? xzyds??1?2?tdt?tCD023230?9

?原式= 0?0?9?9.

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新IT计算机第十章曲线积分与曲面积分 全文阅读和word下载服务。