第十章曲线积分与曲面积分 (5)

46

????(?4x?8x?4x)dv?0

???0：x2?y2?a2,z?a2, ?dydz?dxdz?0，

?0在xOy面上的投影为Dxy:x2?y2?a2,z?0 (?0方向与z轴正向一致)

??????4?a?0Dxy2?xdxdy?0

????????0??? ???0?0?0

?0

课后习题全解 习题10-6

★★★1.利用高斯公式计算

??(xS?2?yz)dydz?(y2?xz)dzdx?(z2?xy)dxdy

其中S为球面(x?a)2?2?(y?b)2?(z?c)2?R2的外侧.

222解：设Ω:(x?a)?(y?b)?(z?c)?R

球面坐标系:

?x?a?rsin?cos???y?b?rsin?sin? ?z?c?rcos???2?,0????,0?r?a

球面坐标系下?:0??利用高斯公式得原式 ?2???(x?y?z)dxdydz

?由球面坐标系 2? d?d?(a?rsin?cos?)rsin?dr xdxdydz???????2?R?000

??sin?d??d??ar??sin?d??cos?d??00000?2?R2?22?R04?R3rdr?a

334?R34?R3 同法得 ydxdydz?b， ???zdxdydz?c ???33??8?R3(a?b?c) . 故原式 ?3★★★2. 计算

2222333,其中?为球面x?y?z?a的内侧. xdydz?ydzdx?zdxdy???47

解：设?:x?y?z?a,球面坐标系:

2222?x?rsin?cos???y?rsin?sin? ?z?rcos??球面坐标系下?:0???2?,0????,0?r?a,利用高斯公式得

22?原式 ??3???(x?y?z)dxdydz?? 3?d??d??r2?r2sin?dr

22?000?a

?3?d??sin?d??002??a01rdr??3?2??(?cos?)0?r554?a012?a5??5.

★★★3. 计算

??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?是介于平面z?0及z?3之间圆柱体

?z3n0y x2?y2?9的整个表面的外侧.

解：设?为?围的立体, 利用高斯公式得

原式 ????(1?1?1)dv

?? 3???dv?3?V柱?3?32??3?81??

x★★★4. 计算

2232xzdydz?(xy?z)dzdx?(2xy?yz)dxdy,其中?为上半球体 ???0?z?a2?x2?y2222的表面外侧.

2解：设?:x?y?z?a,z?0

由球面坐标系（同3题）, 利用高斯公式得 原式 ?222(x?y?z)dxdydz? d?d?r???????rsin?dr

2222??0a?00

??d??2sin?d??002??a01r4dr?2??(?cos?)02?r55?a02?a5?5

★★★5.

24xzdydz?ydzdx?yzdxdy平面 x?0, y?0, z?0与平面 x?1, y?1, z?1所???围立体的全表面的外侧.

解：设?为?围的立体, 利用高斯公式得

原式 ?(4z?2y?y)dv??dx?dy?(4z?y)dz ????00011148

113?4?dx?dy?zdz??dx?ydy?dz?4?1?1??1??1?

000000222111111★★★6. 设

f(u)有连续的导数，计算

1x1xf()dydz?f()dzdx?zdxdy ??yyxyS

其中S是 y?x2?z2， y?8?x2?z2所围立体的外侧.

22解：设?为?围的立体，?在xOz上投影Dxz:x?z?4,y?0

利用高斯公式得 原式 ??1?x11xx???f()???f()?(?)?1??dv 2???yyyxyy?Ω?? ???dv?

?Dxz??dxdz?28?x2?z22x?zdz?Dxz2222(8?x?z?x?z)dxdz??22?21?2? d?? (4-r2)rdr?2??(4r?r3)?16?0030

★★★7. 计算

222(y?x)dydz?(z?y)dzdx?(x?z)dxdy,其中S为抛物面 ??Sz2nSz?2?x2?y2位于z?0内的部分的上侧.

解：设S0为平面：x?y?2,z?0方向向下，?为S?S0围的立体，

22?在xOy上投影Dxy:x2?y2?2,z?0

2OS0n2y 用极坐标表示，则为：0利用高斯公式得

???2?,0?r?2

x

222(y?x)dydz?(z?y)dzdx?(x?z)dxdy????(?1?1?1)dv ??S?S0?1 ??3?dz??dxdy??3??(2?z)dz??3?(2z?z2)??6?0020z2?y2?2?z222

又 2222(y?x)dydz?(z?y)dzdx?(x?z)dxdy?x????dxdy S0S049

????xdxdy???d??rcos??rdr???cos?d??r3drDxy000022?2222?221??4?2cos2?d??r404故原式??2041?????2???22

(S?S0?????)(y2?x)dydz?(z2?y)dzdx?(x2?z)dxdy??6??(??)??5?S0

★★★8. 求下列向量A穿过曲面

?流向指定侧的流量：

(1) (2)

???A= 3yzi+ 3yzj+ 3yzk, ?为圆柱x2?y2?a2 (0?z?h)的全表面，流向外侧；

???2? (7y?2z)k, ?是以点(3,?1,2)为球心，半径R?3的A= (2x?5z)i-( 3xz?y)j球，流向外侧.

解： (1)设?为?围的立体，

Φ???3yzdydz?3xzdxdz?3xydxdy? ???(0?0?0)dv ?0

Σ?(2)设?为?围的立体，

Φ???(2x?5z)dydz?(3xz?y)dxdz?(7y2?2z)dxdy

Σ ? ???(2?1?2)dv ?3???dv?108???

★★★9. 求下列向量场A的散度：

(1) (2)

A=(x2y?y3)i+ (x3?xy2)j+ (x3?xy2)k A= exyi+cos(xy)j+cos(xz2)k

?P?Q?R?2xy?2xy?0 ???x?y?z解： （1）divA?（2）divA?yexy?xsin(xy)?2xzsin(xz2)

★★★10. 证明: 若S为包围有界域V的光滑曲面，则

?udS????nS????udxdydz

V??2u?2u?2u其中?u?称为拉普拉斯算子，???n?x2?y2?z2 证明：设n是关于曲面S沿外法线n 方向的方向导数.

?{cos?,cos?,cos?}

?u?u?u?u?cos??cos??cos??n?x?y?z

则

50

?u?u?u?udS?(cos??cos??cos?)dS ?????n?x?y?zSS

?2u?2u?2u ????(2?2?2)dv ?????udxdydz 证毕

?x?y?zVV★★★11. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中的物体所受体液的压力的合力（及浮力）的方向

铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力.

证明： 取液面为xOy面，z轴铅直向上，设液体密度为?，在物体表面?上取面积元素dS，

M(x,y,z)?dS,M处?的外法向方向余弦为cos?,cos?,cos?,则面积微元dS所受液体的压

?力（浮力）F在三条坐标轴上的分离元素分别为：?zcos?dS,?zcos?dS,?zcos?dS

故?所收的总压力的各分力为上述各分力元素在?上的曲面积分，由高斯公式算得：

Fx????zcos?dS????zdydz????0dv?0

ΣΣΩ Fy?

???zcos?dS????zdxdz????0dv?0

ΣΣΩΣΣΩFz????zcos?dS????zdxdy?????1dv??V，

所以

提高题 ★★★1.计算

F?? Vk 证毕

2(1?x)dydz?2xydzdx?4zxdxdy，其中?是xOy平面上的曲线 ???x?ey,0?y?a， 绕x轴旋转而成的旋转曲面的下侧.

解：如图作辅助平面?0：x?e,y?z?a方向向上，则?和?0构成一个方向为外侧的闭曲面.

设?为???0围的立体， 利用高斯公式得

2(1?x)dydz?2xydzdx?4zxdxdy ????(?2x?2x?4x)dv?0 ??a222x∑0x=ey0yn???0?z??0：x?e,y?z?aa222, ?dxdy?dxdz?0，

?0在yOz上投影Dyz:y2?z2?a2,x?0 (?0方向与z轴正向一致)

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