九年级培优锐角三角函数

锐角三角函数

例题精讲

模块一 三角函数基础

一、

锐角三角函数的定义

如图所示，在Rt△ABC中，a、b、c分别为?A、?B、?C的对边．

BcaCbA

（1）正弦：Rt?ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做?A的正弦，记作sinA，即sinA?a． cb（2）余弦：Rt?ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做?A的余弦，记作cosA，即cosA?．

c （3）正切：Rt?ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做?A的正切，记作tanA，即tanA?注意：

a． b① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sinA、cosA、tanA分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin与A、

cos与A、tan与A的乘积．

③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、

特殊角三角函数

0? 0 三角函数 sinA 30? 1 245? 60? 90? 2 22 23 21 21 0 cosA 1 3 2 初中数学．锐角三角函数

tanA 0 3 31 3 ?

这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围

在Rt?ABC中，?C?90?，a?0，b?0，c?0，a?c，b?c，又sinA?以 0?sinA?1，0?cosA?1，tanA?0． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： sin2A?cos2A?1，tanA? 2．互余角三角函数关系：

(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：sinA?cos?90??A?；

(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：cosA?sin?90??A?； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：tanA?cot?90??A?． 3．锐角三角函数值的变化规律：

(1)A、B是锐角，若A?B，则sinA?sinB；若A?B，则sinA?sinB

(2) A、B是锐角，若A?B，则cosA?cosB；若A?B，则cosA?cosB (3) A、B是锐角，若A?B，则tanA?tanB；若A?B，则tanA?tanB

【例1】 已知在△ABC中，?A、?B是锐角，且sinA?

【巩固】如图，点A在半径为R的O上，以A为圆心，r为半径作A，设O的弦PQ与A相切，求

初中数学．锐角三角函数

aba，cosA?，tanA?，所ccbsinA cosA5则S△ABC? ． ，tanB?2，AB?29cm，

13PA证PA?QA为定值．

【例2】 求tan1??tan2??tan3??

sin??cos?sin2?【巩固】化简： ?1?tan2?sin??cos??tan89?的值

1?cos2?sin??1?sin?cos?【例3】 已知tan??3，求（1），（2）（0????90?）． 21?sina1?sin?cos??sin?

初中数学．锐角三角函数

【巩固】已知tan??2，求

【例4】 已知?为锐角，且2sin2??5cos??1?0，求?的度数．

【巩固】若?为锐角，且2cos2??7sin??5?0，求?的度数．

【例5】 已知sin??cos??2（?为锐角），求作以

【巩固】若方程2x2?2ax?a2?1?0的一个根是sin?，则它的另一个根必是cos?或?cos?．

初中数学．锐角三角函数

4sin??2cos?．

5cos??3sin?11

和为两根的一元二次方程． sin?cos?

【巩固】已知：方程(sinB?sinA)x2?(sinA?sinC)x?(sinC?sinB)?0的两根相等，求证B?60?． △ABC中，

【巩固】在△ABC中，A?60?，最大边与最小边的边长分别是方程3x2?27x?32?0的两个根，求△ABC

的外接圆半径和内切圆的面积．

模块二 解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：a2?b2?c2 (勾股定理) （2）锐角之间的关系：?A??B?90?

aba（3）边角之间的关系：sinA?cosB?,cosA?sinB?,tanA?

ccbbCAcaB三、 解直角三角形的四种基本类型

isA?（1）已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，由na求出?A，则?B?90???A， b?c2?a2； c（2）已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)，求出?B?90???A，a?csinA，b?ccosA； （3）已知一直角边和一锐角(如a和锐角A)，求出?B?90???A，b?atanB，c?（4）已知两直角边(如a和b)，求出c?a2?b2，由tanA?具体解题时要善于选用公式及其变式，如sinA?四、解直角三角形的方法

初中数学．锐角三角函数

a； sinAa，得?B?90???A． baa可写成a?csinA，c?等． csinA

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