高考难点之平面向量“四心问题”打印

高考难点之平面向量“四心问题”

一、重心：（运算会涉及三角形法则、平行四边形法则和三点共线） XA+XB+XCYA+YB+YC1、重心G（ ， ） 2、OA?OB?OC?0

333、

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3

二、垂心：（运算会涉及三角形法则、平行四边形法则和向量的数量积）

1、OA?OB?OB?OC?OC?OA 2、S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：tanB：tanC

3、tanAOA?tanBOB?tanCOC?0 4、OA2?BC2?OB2?CA2?OC2?AB2

三、外心：（运算会涉及三角形法则、投影、数量积）

1、|OA|?|OB|?|OC|

：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 2、S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC3、sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0

四、内心：（运算会涉及三角形法则、平行四边形法、向量共线） aXA+ bXB+ cXCayA+ byB+ cyC

1、内心I（ ， ）

a+b+ca+b+c2、?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心

|AB||AC|3、aOA?bOB?cOC?0

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

5、

6、S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c

7、aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0 常见重要结论证明：

1、在△ABC中，O是三角形内任意一点，证明：SBOC

+SAOC

+SAOB

=0

2、在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。 求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

3、若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 OH?OA?OB?OC. 4、在△ABC内求一点P，使AP2?BP2?CP2最小．

练习： 1．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，2．在△ABC中，动点P满足||=|2=|﹣22，则直线AD通过△ABC的 ?，则P点的轨迹一定通过△ABC的 ，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定经过△ABC ，则O是△ABC的 ，O是△ABC内一点，，则O是△ABC的 3．△ABC所在平面内点O、P，满足4．O为△ABC所在平面内一点，满足5．△ABC中，6.已知：7.动点P满足

=λ（

+

，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定经过△ABC的 ）（λ≠0），则点P的轨迹一定过△ABC的

=s

，则有序实数对（s，t）为

8.△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，O为△ABC的外心，若

?

=

9．△ABC中，AB=2，AC=4，O为△ABC的外心，则等于

+

，则∠BAC的度数为

?

的取值范围是 ，则m的值为

，且2x+10y=5，则边BC的长为 ．

10．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的圆心）．若

11．△ABC中，BC=2，A=45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则12．已知O是△ABC的外心，A、B、C为△ABC的内角，若13．已知O为锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，14．已知O为△ABC的外心，若15．若点P是△ABC的外心，且16．O是△ABC的外心，AB=1，AC=2，且

=x

+y

，则∠C等于 ．

，∠C=120°，则实数λ的值为 ．

（x∈R，且x≠0），则△ABC的边长BC= ．

=m

+n

，则m：n= ，则λ1+λ2=

的取值范围是

|的最小值为

=m+2

，

=n

，则

17.已知在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，设O是△ABC的内心，若18．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且19．已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若20．已知点M是△ABC的重心，若A=60°，

?

=3，则|

21．G为△ABC的重心，P、Q分别在AB、AC上，且PQ过G点，22．设G为△ABC的重心，若△ABC所在平面内一点P满足23．已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则24．设△ABC的三边长分别为a，b，c，重心为G，则

11+= mn=，则的值等于 ．

= ．

= ．

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