考研专项练习 高等数学--习题集

第一章 函数·极限·连续

一. 填空题 1. 已知

f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2,则?(x)?__________, 定义域为___________.

?1?x?2．设lim??x??x?? 3.

4. 已知函数 5. 6. 设当x 7.

ax??tetdt, 则a = ________.

??a12n??lim?2?2???2?=________. n??n?n?1n?n?2n?n?n??|x|?1?1f(x)?? , 则f[f(x)] _______.

|x|?10?lim(n?3n?n?n)=_______.

n???0时,f(x)?ex?1?ax为x的3阶无穷小, 则a?_____,b?______.

1?bx1??1limcotx???=______. x?0?sinxx?n1990?A(? 0 ? ?), 则A = ______, k = _______. 8. 已知limkn??n?(n?1)k

二. 选择题

1. 设f(x)和?(x)在(－?, +?)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ? 0, ?(x)有间断点, 则 (a) ?[f(x)]必有间断点 (b) [ ?(x)]2必有间断点 (c) f [?(x)]必有间断点 (d)

?(x)f(x)必有间断点

2. 设函数

f(x)?x?tanx?esinx, 则f(x)是

(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数 3. 函数

f(x)?|x|sin(x?2)x(x?1)(x?2)2在下列哪个区间内有界

(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)

x2?1x?1时,函数e的极限 4. 当x?1x?1(a) 等于2 (b) 等于0 (c) 为? (d) 不存在, 但不为?

1

15. 极限lim?352n?1?????的值是 2222?n??12?222?3n?(n?1)???(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在

(x?1)95(ax?1)56. 设lim?8, 则a的值为 250x??(x?1)(a) 1 (b) 2 (c) 7. 设lim58 (d) 均不对

(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)??, 则?, ?的数值为 ?x??(3x?2)(a) ? = 1, ? = 8. 设

111 (b) ? = 5, ? = (c) ? = 5, ? = 5333 (d) 均不对

f(x)?2x?3x?2, 则当x?0时

(a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小 9. 设lim(1?x)(1?2x)(1?3x)?a?6, 则a的值为

x?0x(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3

10. 设limatanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)2x?0?2，其中a2?c2?0, 则必有

(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c

三. 计算题 1. 求下列极限

(1) (2)

x???lim(x?e)x1x

lim(sinx??21?cos)x xx1x3 (3)

?1?tanx?lim??x?01?sinx??

2. 求下列极限 (1)

limln(1?3x?1)arcsin2x?132x?1

2

(2)

?1lim?2?cot2x?0x??x? ?3. 求下列极限 (1)

limnn(n?1)

n??lnn1?e?nxlimn??1?e?nx (2) (3)

?na?nb??lim??n???2??n, 其中a > 0, b > 0

4. 设

?2?x2(1?cosx)?f(x)??1?1x??cost2dt?x0x?0x?0x?0

试讨论

f(x)在x?0处的连续性与可导性.

5. 求下列函数的间断点并判别类型

(1)

f(x)?2?12?11x1x

(2)

?x(2x??)x?0??2cosxf(x)??

1?sinx?0??x2?16. 讨论函数

1??x?0?xsinf(x)?? 在x = 0处的连续性. x

x?0?ex???

7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < xn < b, ci (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个?, 使

f(?)?

c1f(x1)?c2f(x2)???cnc1?c2???cn.

8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个?, 使f(?) = ?.

3

9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ? f(x) ? 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个?, 使f(?) = ?.

10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个?, 使

f(?) = g(?).

11. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.

12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且lim?f(x)?3?sin3xf(x)???0, 求及. limf(0),f'(0),f''(0)32?2x?0x?0x?x?x

4

第二章 导数与微分

一. 填空题 1 . 设

2. 设函数y = y(x)由方程e

3. 已知f(－x) =－f(x), 且

4. 设f(x)可导, 则 5. 6. 已知

7. 设f为可导函数,

8. 设y = f(x)由方程e

二. 选择题

1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且(a)

2. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且

2x?yx?y?x?0limf(x0?k?x)?f(x0)1?f'(x0), 则k = ________.

?x3?cos(xy)?0确定, 则

dy?______. dxf'(?x0)?k, 则f'(x0)?______.

?x?0limf(x0?m?x)?f(x0?n?x)?_______.

?xf(n)(x)= _______.

f(x)?1?x1?x, 则

d??1??1?1?f?, 则f'?????_______. 2??dx??x??x?2?y?sin{f[sinf(x)]}, 则

dy?_______. dx?cos(xy)?e?1所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.

f'(x)?[f(x)]2, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是

n![f(x)]n?1 (b) n[f(x)]n?1 (c) [f(x)]2n (d) n![f(x)]2n

f'(0)?b, 其中a, b为非零常数, 则

f'(1)?a

(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且(c) f(x)在x = 1处可导, 且 3. 设

f'(1)?b (d) f(x)在x = 1处可导, 且f'(1)?ab

f(x)?3x3?x2|x|, 则使f(n)(0)存在的最高阶导数n为

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + ?x时, 记?y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, (a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ?

5

?y?dy等于

?x?0?xlim

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