自动控制原理（孟华）第6章习题答案（含过程）

第六章习题

6-1．已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)?200

s(0.1s?1)试设计一个串联校正网络，使系统的相角裕量??45?，剪切频率?c?50rad/s。 解：

方法一：原系统的截止频率为44.16rad/s，相稳定裕度为

180°-90°-arctan4.416=12.76°

截止频率和相角裕度均不满足要求，需加入串联超前校正，选择校正网络的传递函数为

Gc(s)?K1?aTs

1?Ts取校正后系统的截止频率?c?52rad/s，相角裕度??50?。则

?c?由上述3式的

1aT，20lgK?10lga?2.6，11??arctana?1?50? a?1a?4.4,T?0.01,K?0.64

Gc(s)G(s)?128(0.04s?1)

s(0.1s?1)(0.01s?1)校正后系统的截止频率为?c?53rad/s，相角裕度??49.5?，满足要求。

方法二：按二阶系统最佳模型设计，设校正后系统的开环传递函数为

G(s)?则闭环系统的传递函数为

K

s(Ts?1)2?nKK/T ?(s)?2??2Ts?s?Ks2?1/Ts?K/Ts2?2??ns??n2令K?50，??0.707由2??n?1/T，?n?K/T，得T?0.01。即

Gc(s)G(s)?10.1s?150，Gc(s)?。

40.01s?1s(0.01s?1)易验证该校正环节满足要求。

6-2.已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)?100K

s(0.04s?1)要求系统对单位斜坡输入信号的稳态误差ess?1%，相角裕量为??45?，试确定系统串联校正网络。

解：本题可首先检验系统得性能指标，针对系统在性能上的缺陷并结合校正网络的作用，选用合适的校正网络，再按相应的步骤确定校正网络的参数。

（1） 根据稳定误差要求，确定系统的K值。

Kv?limslimsG(s)?lims?s?0s?0100K?100K

s(0.4s?1)ess?11??1% K100K求得K?1。

（2） 利用已确定的K，计算未校正系统的相角裕度。 取K?1，则 Gc(s)?其渐近对数幅频特性可表示为

100

s(0.4s?1)100?20lg??L(?)??100?20lg0.04?2?由L(??)?0求得 此时系统的相角裕度为

(??25)

(??25)???50rads

?)?26.6??45? ???180??90??arctan(0.04?c显然，系统在稳态误差满足指标要求的情况下，相角裕度不满足要求。可选用超前校正网络

来提高系统的相角裕度，改善系统的动态性能。

（3） 根据相角裕度的要求，计算超前校正网络的参数。

?m??????(5?~12?)?45??26.6??8??26.4?

按照要求的相角裕度45?和未校正系统的相角裕度26.6?计算，超前校正网络应提供18.4???的超前相角，但考虑到超前校正会使系统的剪切频率增大，而未校正系统在新的剪切频率?c处具有更大的滞后相角，因此需在18.4?相角的基础上增加一些裕量（此处选为8?）。 利用（6-13）式可得 a?1?sin?m1.44??2.57

1?sin?m0.56??)?10lga?4.1 由（6-15）式有 ?20lgG(j?c即 ?20lg100?4.1 2??0.04?c解得

???63rads ?c??是校正后系统的剪切频率，它与超前校正网络产生最大超前相角时所对应的注意：?c??上，未校正系统的对数幅频特性应该与超前网络的对数幅频特性大小频率?m相等。在?c相等、符号相反。

由（6-14）式有 T?故超前校正网络的传递函数为

11??0.01s ??a101?cGc(s)?

1?aTs1?0.026s?

1?Ts1?0.01s（4） 验算已校正系统的相角裕度。

?)?arcan(0.026??) ???180??90??arctan(0.04?c?c??)?47.87? ?arctan(0.01?c校正后系统的相角裕度满足给定指标要求。

校正后系统的开环传递函数为

G(s)Gc(s)?100(0.026s?1)

s(0.04s?1)(0.01s?1)校正前后开环系统及校正网络的Bode图如图6-2所示。

图6-2

6-3.已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)?K

s2(0.2s?1)要求系统满足稳态加速度误差系数Ka=10s-2，相角裕量??35?，试求系统串联校正网络。 解：当未校正系统在要求的剪切频率附近相频特性负斜率较大，或需要提供的补偿相角较大时，采用一级超前校正满足不了要求，此时可以采用两级或多极串联超前校正方案。其参数确定的方法可参照一般设计步骤进行。

（1） 根据误差系统的要求，确定开环增益K。

Ka?lims2G(s)?lims2s?0s?0K?K 2s(0.2s?1)K?Ka?10

（2）

根据确定的K值，计算未校正系统的相角裕度。

取K?10，则 G(s)?10 2s(0.2s?1)10?20lg??2其渐近幅频特性为 L(?)??10?20lg2??0.2???)?0求得 由L(?c此时相角裕度

(??5)

(??5)??3.16rads ?c?)??32.29? ???180??90??arctan(0.2?c显然系统是不稳定的。若要求系统的相角裕度??35?，需要用串联超前校正来提高系统的相角裕度。

（3） 根据相角裕度要求，确定超前校正网络的参数。

?m??????(5?~12?)?35??(?32.29?)?12??79.3?

其中12?为增加的裕量。

考虑到需增加的超前相角较大，可采用二级相同的串联超前校正网络来完成校正任务，每级校正网络所提供的最大超前相角为

???m79.3??40? 22?1?aTs?校正网络的传递函数为 Gc(s)???

?1?Ts?利用（6-13）式可得 a??1.641?sin?m??4.6 ?1?sin?m0.35??)?2?10lga?13.26 由（6-15）式有 ?20lgG(j?c解得

???6.13rads， T??c1?0.076s ???ca（4） 验算已校正系统的性能指标。

??)?2arcan(0.35?c??) ????180??180??arctan(0.2?c??)?29.3??35? ?2arctan(0.076?c相角裕度不满足要求，这是因为在确定校正网络的最大超前相角?m时，所增加的裕量较小

?和?c??处的相角分别为 （为12?）。未校正系统在?c?)??212.3?，G(j?c??)??230.79? G(j?c两者相差18.49?，故所增加的裕量应在18?以上才能保证校正后的相角裕度略大于35?。为

???6.7rads，T?0.06s，校正网络的传递函数为 此将a值增大，取a?6求得?c?1?0.37s?Gc(s)???

?1?0.06s?经验算????39??35?，满足要求。 校正后系统的开环传递函数为

210(0.37s?1)2 G??(s)?2s(0.2s?1)(0.06s?1)2

6-4.设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?10

s(0.25s?1)(0.05s?1)要求校正后系统的谐振峰值Mr?1.4，谐振频率?r?10 rad/s，试确定串联校正装置的参数。 解：

校正系统时，若性能指标不是以稳态误差、相角裕度和幅值裕度等形式给出的，则可先进性指标换算。换算时可用二阶系统的有关公式或经验公式来近似。换算后再按一般步骤进行校正。

（1）

将要求的Mr和?r转换成对相角裕度和剪切频率的要求。

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