人口模型与预测

数学建模

人口模型与预测

1 摘要

人口的增长问题早已引起当今世界的普遍关注，中国是世界上人口最多的国家，官方统计，目前中国人口已超过14亿，占世界的人口比重相当大，所以，中国的人口问题是十分突出的。本文建立两个模型，利用MATLAB软件进行简单的计算，做出人口图形，标出中国人口的实际统计数据，建立中国人口增长的数学模型，做出比较精确的人口增长模型，使我们能更直观的了解国内人口增长趋势。

2 模型的背景问题描述

问题的提出：下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），N0=101654万人。

年 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 人口 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 （万） 年 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 人口 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810 （万）

表2-1 要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。 语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0)

人口的变化受到多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年人口和今后这些年的增长率（即人口出生率减去死亡率），根据这两个数据进行

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人口预报是十分容易的。如果我们单方面的用过去几年的人口平均增长率来计算，如上图1982--1986年的人口平均增长率为14.1‰来算，记人口为X0,k年后人口为 Xk,年增长率r，则增长公式为Xk=X0（1+r）k， 显然，这个公式的前提是年平均增长率r保持不变。这个条件并不是总是成立的，它是受多方面因素影响的，当然r条件下的人口增长不可能总是成立的，这时仍沿用原来的思维算法是错误的，这需要我们用其他的方法来解决问题，而指数增长模型和Logistic模型就是其中最简单的两种模型。

3 模型—

3.1 模型假设:

（1）假设不存在某年龄段出现0死亡概率

（2）假设人口平稳增长，无大型自然灾害，战争等因素的影响 （3）假设境内外迁移率对我国未来人口影响不计 （4）人口的净增长率（为常数）

3.2 建立模型与求解

设：t 表示年份（选定初始年份的t=0）， r 表示人口增长率，x 表示人口数量。记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，x(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为x0，人口增长率为r，r是单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是x(t)满足如下的微分方程：

dx/dt=rx

x(0)=x0

（3-1） （3-2）

由这个线性常系数微分方程容易解出:

x(t)=x0ert

（3-3）

表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将t以年为单位，上式表明，人口以er为公比的等比数列增长。因为这时r表示年增长率，通常r<<1，所以可用近似关系er≈1+r可得出

x(t)=x0(1+r)t 即人口增长模型 （3-4）

3.3 模型检验

由预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：

实际人口 年 指数增长模型 (万人) (万人) 114333 误差 1991

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数学建模

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 115819 117325 118850 120395 121960 123545 125152 表3-1

4 154 333 545 839 1156 1526

由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2016年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。

随着人口的增加,自然资源、环境条件，社会因素等对人口增长的阻滞作用越来越明显。当人口较少时平均人口增长率还可以看作常数的话，那么人口增长到达一定程度时，人类为了生存，自然资源，环境资源对人类发展的限制，必然会使人们采取措施控制人口数量，使其增长率将逐步下降，人口数量将达到控制，而这时上面的人口增长模型将不再适用，需要新的模型来表示人口的增长了。

3.4模型的应用与推广

指数增长模型确实可以预测人口的增长，但是它只适合于短期的人口预测，为了生存，人类的发展，人们自然会采取有效措施来控制人口的过度增长，自然资源，环境资源的条件也限制了人口数量的过度增长，为了使人口预报模型适合长期的发展趋势，更好地符合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设了，着这时必将导致更适合人类发展的规律的心数学模型的产生。

4 模型二

4. 1 模型假设

当世界人口总数不大时，生存空间，资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的，单当人口总指数非常大时，指数增长的线性模型则不会反映这样的现实。 设t 为年份（初始年份t=0），r为人口增长率，N为人口数量。人口数N(t)足够大，可以视做连续变量处理，且N(t)关于t连续可微。

4. 2 模型建立及求解

引用常数Nm（环境最大容量）表示自然资源和环境条件所能容纳最大人口数量，并建设净相对增长率为r（1-N(t)/Nm）N，即相对增长率随N(t)的增加而减少，当N(t)-->Nm时，净增长率r-->0.按此假设，人口增长的方程应该为

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dN/dt=r（1-N/Nm）N 即Logistic模型 (4-1)

当Nm与N相比很大时，rN2/Nm与 rN相比可以忽略，则模型变为Malthus模型，即指

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数增长模型，但当Nm与N相比不是很大时，rN/Nm这一项就不能忽略，但当人口很大时Malthus模型是不合理的。

用r（N）代替指数增长模型中的r，N（t0）=N0可推出如下：

N(t)=Nm/（1+（Nm/N0-1）e-r*（t-t0）） (4-2) （r*=0.029为人口学家估计世界人口的自然增长率）

在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型。

4. 3 模型检验

由预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由Logistic模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：

实际人口 年 Logistic模型 (万人) 误差 73 10 48 111 227 339 473 (万人) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 115750 117161 118565 119961 121348 122728 124099 表4-1

1600140012001000800600400200

20 图4-1 406080100120 4

数学建模

从上图图可以看出，人口总数具有如下规律：

当人口数的初始值N0>Nm时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值N0∞，它们皆趋于极限值Nm。

4. 4 模型的应用与推广

阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。

不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程——这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。还有比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法吗？

事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑。

5 模型作图·

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