数学竞赛难点之无穷级数

第四章 无穷级数

4.1.基本概念与内容提要

级数?an与?can收敛性相同。若级数?an与?bn都收敛，则级数?(an?bn)也收敛，

n?1n?1n?1n?1n?1???????????且?(an?bn)??an??bn。若级数?an与?bn都发散，则级数?(an?bn)不一定发散。

n?1n?1n?1n?1?n?1n?1若级数?an收敛，?bn发散，则级数?(an?bn)必发散。

n?1n?1n?1??由级数?(an?bn)收敛不能得到级数?an与?bn收敛。

n?1n?1n?1???等比级数?qn?1,当q?1时收敛且?qn?1?n?1n?1???1;当q?1时发散。 1?q?11P级数?p，当p>1时收敛，当0?p?1发散。其中调和级数?发散。

n?1nn?1n??1级数?发散，其中k为正常数。级数?(an?an?1)收敛?liman存在。

n??n?1n?1n?k如果级数?an收敛，则liman?0。如果liman?0，则级数?an必发散。

n?1n??n????n?1改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。收敛级数

加括号后仍收敛于原级数和。若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。

正项级数审敛法：

1.正项级数的收敛准则：?an收敛?Sn?Mn?1?2.正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。

????an若lim?l?l?0?,则?bn收敛??an收敛；an发散??bn发散。?n??bn?1n?1n?1n?1n????anan若lim?0,则?bn收敛??an收敛。若lim???,则?bn发散??an发散。n??bn??bn?1n?1n?1n?1nn?1解题时常将级数?an与p级数?p比较，以判定?an的敛散性。n?1n?1nn?1??3.根值判别法：设：??limnan，则当0???1时，级数收敛；当??1时，n??级数发散；当??1时，不确定。注意：?=0时级数也收敛。a4.比值判别法：设：??limn?1，则当0???1时，级数收敛；当??1时，n??an级数发散；当??1时，不确定。注意：?=0时级数也收敛。5.积分判别法：f?x?是在?1，???上单调递减的正项连续函数，???则正项级数?f?n?与广义积分?n?11 f?x?dx具有相同的收敛性。

广义积分

???1f?x?dx的敛散性的判别方法与正项级数的相同。

n??6.定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。

交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：??un?un?1如果交错级数满足?，那么级数收敛且其和s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。交

limu?0n??n??错级数

???1?n?1?nan判断收敛一般用下述方法：

n??（1）

莱布尼兹定理：如果交错级数满足an?an?1，liman?0那么级数收敛且其和s?a1,其余项rn的绝对值rn?an?1。如果?an?不满足条件，则一般可改用：

（2）取通项的绝对值所构成的级数，若收敛则原级数绝对收敛；若此绝对值所构成的

级数用比值法或根值法判定发散，则通项不趋于0，原级数发散。

（3）拆项或并项的方法，将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数均收敛，则原级数收敛；若一级数收敛另一发散，则原级数发散。若并项后的级数发散，则原级数也发散。

（4）如果能立即看出liman?0，则级数?an必发散。

n???n?1绝对收敛与条件收敛：

若?an收敛，则?an收敛且称为绝对收敛；若?an发散但?an收敛则称为条件收敛。n?1?n?1n?1n?1????由?an发散不能断言?an也发散。但如果?an的发散是由比值法（或根值法）n?1n?1n?1??

推断出的，则liman?0，从而liman?0，于是?an也发散。n??n??n?1?1(?1)1调和级数?发散，而?收敛；级数?2收敛。nnn绝对收敛级数的和仍绝对收敛，绝对收敛级数与条件收敛级数的和是条件收敛。

任意项级数的判别法：①绝对值判别：若级数

n

?a收敛，则?a收敛。即绝对收敛的级

nnn?1n?1??数一定收敛。②拆项或并项的方法，将通项拆成两几项之和，利用交错级数和正项级数的判别方法。其一般判别步骤如下图所示：

?un?1?n任意项级数 ?limun?0 n??非 ?un?1n发散 是 ?un?1?n用正项级数判别法 收敛 ?un?1?n绝对收敛 发散 ?un用莱布尼茨法则、定义或基本性质判别 n?1?收敛 ?un?1?n条件收敛 发散 ?un?1?n发散

x?1时，收敛于x?1时，发散11?x幂级数：

1?x?x2?x3???xn??　　对于级数(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1??0时，R?求收敛半径的方法：设limn??an?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则an???0时，R???幂????时，R?0级数在收敛域上的性质：

若幂级数

?axnn?1?n?1?n的收敛半径为R1，

n??bxnn?1?n的收敛半径为R2，则

?(an?1?n?bn)x??anx??bnxn，收敛半径R?min?R1,R2?。

nn?1

1??1例：幂级数???n?xn的收敛域为_______________

2?n?2?nn??nn2n11n1?1,limn?1?，??解：由于limx的收敛半径为1,?nxn的收敛

n??n?12??n?1n??2n?2nnn?22?1?n1??1?1半径为2，????n?x的收敛半径为1，当x??1时，级数???n?xn绝对收敛，

2?2?n?2?nnn?2?nn所以，收敛域为??1,1?。

??当两个幂级数的收敛域不同时，它们的和的收敛域是两个收敛域的交集，这种方法可以简化求幂级数的收敛域。

幂级数在收敛域??R,R?上绝对收敛，且和函数S(x)为连续函数。若?anxn在-R或R处

n?1?收敛，则S(x)在-R或R处分别右连续、左连续。和函数S(x)为可导函数且

S?x???an?nxn?1，逐项求导后收敛半径不变。和函数S(x)为可积函数且

、n?1??S?t?dt???0n?1x?x0antndt，逐项积分后收敛半径不变。逐项求导、逐项积分后，收敛半径

?不变但收敛域可能改变，在端点处的敛散性可能改变。 若幂级数

?axnn?1??nn在x?x0处发散，则当x?x发散。如果在某点0时级数?anxn?1 x?x0处幂级数条件收敛，则x?x0必位于该幂级数的收敛域的端点。ann?1x在x=3处（ C ） n?1n?1n?1A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.收敛性与?an?相关

例：设幂级数?an?x-1?在x=3处条件收敛，则幂级数?n?解：原幂级数在x=3处条件收敛说明收敛半径为3-1=2。幂级数经逐项积分、平移后，收敛半径不变，所以后一幂级数的收敛域为（-2，2]。X=3在收敛域外，所以在该点处发散。

幂级数

?anxn收敛半径的求法：设??limn?1?n??an?1或??limnan??可以为??，则当

n??an；当??0，?时R=。此种求收敛半径的方法是充分条件，??0时R=?当;?=?时R=0?1若lim?n??an?1不存在时并不能说收敛半径不存在，因为收敛半径总是存在的。对于类似an2n?n???anx、?anx3n等级数的收敛半径不能这样做，应根据limn?1n?1un?1?1求收敛半径。 un?2n?!x2n?2n?!x2n,u?的收敛半径。解：设用比值判别法， n22n?1?n!??n!??2n?2??2n?1?2?2n?!x2n?un?1122x??limx?4x4x?1由lim得：当时，级数绝对收敛；?22n??un??2n?1?n!??n?1?n??2n?!x2n112R?当x?时4x?1，级数?发散；所以收敛半径为。 222n?1?n!?例：求??

错解：由公式??lim小试身手：幂级数

n???2n?2??2n?1??4，所以R?1。 an?1?lim2n??4an?n?1?n???3?n?2n?1?nx2n的收敛半径为__________（答案：3）

级数的和的求法：

观察所给幂级数通项xn的系数an，若an为n的简单有理式，则通过拆项将其拆成更简单的分式之和；通过逐项积分，设法消去分式中分子的n(或n-1,n+1等)；通过逐项

?1求导，设法消去分式中分母的n(或n-1，n+1等)；最后设法利用级数之和?xn?。

1?xn?0若an的分母为n!或?2n?!或?2n-1?!也可通过上述方法化简，最后利用ex,sinx,cosx的展开式求和。若an的分母为?2n?!!或?2n-1?!!也可通过上述方法化简，最后利用?1?x?的展开式求和。幂级数求和还应求出收敛域。常用方法举例：设s?x???anxn,用下列两种

n?1?m??ann?1?n?1途径求和函数s?x?：（1）s?x???(?nanx)dx；（2）s?x????x?。

0n?1?n?1n?1?用幂级数求和的方法求某些数项级数的和时，要找到一个适当的幂级数，求出它的和，再命x为某值得到欲求的数项级数的和。已知某些和求另一些与此相关的和时，关键步骤时，将欲求的前n项部分和表示成已知部分和，然后取极限。

x?、函数展开成幂级数：

直接展开法：利用泰勒级数公式，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数。

f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!f?x?展开成x的幂级数的步骤：?1?求出f?n??x??n?1,2,...?;?2?求f?n??0??n?1,2,...?;f??(0)2f(n)(0)nx???x??并求出敛散半径R；?3?写出f(0)?f?(0)x?2!n!f(n?1)(?)n?1limRn?x??limx?0??位于0与x之间?是f?x?的?4?当x???R,R?时，n??n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)n迈克劳林级数收敛的充要条件。此时f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!间接展开法：通过一定的运算（主要是加减法，数乘运算，逐项积分和逐项求导运算）将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数（主要是一些简单函数的迈克劳林展开式）展开将原来函数展开为幂级数。间接法是将函数展开为幂级数的主要方法，具体方法是：①先求导，展开成幂级数后在积分；②先积分，展开成幂级数后在求导。当然，中间还要通过一些适当的运算。

一些常用函数展开成幂级数：

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