复数与复变函数

第一章、复数与复变函数

1.1知识提要

1.复数的概念

形如z?x?iy的数称为复数，其中x,y为任意实数，i(i2??1)称为虚单位，x,y又称为

z的实部与虚部，记为x?Re(z),y?Im(z).

z?x?iy与直角坐标系平面上的点(x,y)成一一对应，平面称复平面.z?x2?y2表示

复数z的向量的长度，称复数的模.Argz???Arctan(y/x)称为z的辐角，表示z的向量与x轴正向间的交角的弧度数.其中满足??????的?0称为辐角z的主值，记作

?0?arcz.

2.复数的各种表示法

（1）复数z?x?iy可用复平面上点(x,y)表示。

（2）复数z?x?iy可用从原点指向点(x,y)的平面向量表示.

（3）复数的三角表达式为z?r(cos??isin?)，其中r?z,?为z?0时任一辐角值. （4）复数的指数表达式为z?re。

（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点?与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面. 3.复数的代数运算（z1,z2不为零）

（1）z1?z2当且仅当两复数实部与虚部分别相等。 （2）z?0,当且仅当z的实部与虚部同时为0.

（3）z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2).

i?（4）z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x2y1?x1y2).即z1z2?z1?z2,Argz1z2?Arcz1?Arcz2 （5）z1/z2?(x1x2?y1y2)/(x2?y2)?i(x2y1?x1y2)/(x2?y2). 即z1/z2?z1/z2,Arg(z1/z2)?Arcz1?Arcz2. （6）z?r(cosn??isinn?).

nn2222（7）nz?r1/n?cos(??2k?)/n?isin(??2k?)/n?,k?0,1,?,n?1.在几何上，nz的n个值恰为以原点为中心，r4.曲线与区域

（1）设z(t)?x(t)?iy(t),，其中x(t)，y(t)(a?t?b)为实变量t的单值连续函数，则

1/n为半径的圆内接正n边形的n个顶点.

z?z(t)(a?t?b)表示复平面上的一条连续曲线.

一条没有重点的连续曲线称简单曲线或约当曲线.如果简单曲线的起点与终点重合，称简单闭曲线.如果在a?t?b上，x?(t)y?(t)连续，且对每一t值，有?x?(t)???y?(t)??0,称曲

22线z(t)是光滑的.

任意一条简单闭曲线分复平面为三个部分.曲线C为边界，有界区域为C的内部，无界区域为C的外部.

（2）复平面上的非空连通开集称为区域.区域连同其边界称闭区域.

若在复平面上区域D内任作一条简单闭曲线，其内部总属于D，称D为单连通域.若D不是单连通域，则D为多连通域. 5.复变函数

设G为一个复数集，若有一个确定法则存在，使对于任一z?G，有一个或几个复数

??u?iv与之对应，则称复变数?是复变数z的函数，记作??f(z).

复变函数在几何上表示z平面上一个点集G（定义集合）到?平面上一个集合G（函数值集合）的映射（或变换）. 6.复变函数的极限

，z称为?的原像. ?称为z的像（映像）

*

设??f(z)在点z0的某去心邻域0?z?z0??内有定义，A为一确定常数.若对任给的

??0,存在相应??0，使对满足0?z?z0??的z，恒有f(z)?A??，则称A为f(z)当z趋向z0时的极限，记作limf(z)?A.

z?z0由于z?z0的方式的任意性更强，因此复变函数的极限定义比一元实函数极限定义要求苛刻得多.

复变函数极限的运算法则与实函数极限运算法则相同. 7.复变函数的连续性

如果limf(z)?f(z0)，称f(z)在z0连续.若f(z)在区域D内每一点都连续，称f(z)在

z?z0D内连续.

f(z)?u?iv在点z0?x0?iy0连续的充要条件为u和v在点(x0,y0)连续.

复变函数连续性的运算法则与实函数连续性运算法则相同.

学习与考试要求

（1） 熟练掌握复数的各种表求方法以及四则、乘幂和共轭运算. （2） 了解区域的概念.单连域、多连域的区分.

（3） 了解曲线、光滑曲线、简单闭曲线的定义，能用复数的方程或不等式表示一些常见

的区域和曲线.

（4） 掌握复变函数的概念，理解映射的意义，理解复变函数与两个实二元函数之间的关

系.

（5） 了解复变函数的极限与连续性概念，知道它们与实一元函数极限与连续性的异同. 重点与难点

重点是复数表示法之间的转换、区域的确定、复变函数的概念. 难点是复球面概念，复变函数理解为复平面上两个集合间的映射，以及复变函数的极限与连续性。

1.2疑难解析

1.辐角的主值Argz怎样确定？

g/x)的主值arcyt/ax)n按(下列关系来确定答Argz可以由Ar(yarctan(y/x),当x?0,????/2,当x?0,y?0,?Argz??

arctan(y/x)??,当x?0,y?0,???,当x?0,y?0,?y/x)??/2. 其中??/2?arctan(2.复数为什么不能比较大小？

答我们知道，实数是有序的，所以实数可以比较大小.而复数是无序的，因此不能比较大小. 假若复数能比较大小，则由复数是实数的推广可知，它的大小顺序关系应遵循实数中的大小顺序关系.如在实数中有 若a?b,c?0,则ac?bc; 若a?b,c?0,则ac?bc.

现在我们来看复数i和0.因为i?0,若i?0,，则两边同乘“大于”0的i，得

i?i?0?i,即?1?0,，而这是错误的;

若i?0,同样推出?1?0,.显然，i与0无法比较大小.

所以，我们说复数不能比较大小.但是复数的模、实部、虚部都是实数，可以比较大小. 3.复数是否一定有辐角？

答除零以外的复数都有辐角.当z?0时，它的辐角可取任意值而不确定，这与零向量有任意方向是一致的.

4.复数的运算与向量运算有何相同与区别？

答复数z?x?iy可以用从原点指向点(x,y)的向量表示.在运算上它们有相同之处也有相

异之处.

相同之处是有同样的加减运算和数乘运算.相异之处是复数有乘除、乘幂和方根等运算，而向量没有这些运算;向量有数量积、向量积、混和积等运算，而复数没有这些运算. 5．如何理解两个复数z1与z2的乘积和商的辐角公式？

答对于公式Arg(z1z2)?Argz1?Argz2,Arg(z1/z2)?Argz1?Argz2,应该理解为：任意给定一个等式右端两个多值函数一对可能取的值，左端多值函数也必有一个值使这个等式成立.反过来说也对.这是因为公式两端的Arg都表示无穷多个值，等式是在全体意义上的相等，而不是个别意义上的相等，例如，

设?1,?2是Argz1和Argz2的任意一对选定的值，则Arg(z1z2)应有一?满足

cos??cos(?1??2),sin??sin(?1??2),虽然?不一定就是?1??2，但一定有

??2k???1??2..而??2k?是Arg(z1z2)无穷多值中的一个.反过来也是一样.

6.为什么在复平面中规定无穷远点只是一点？

答在高等数学中，?可以分为??和??，而在复变函数中只有唯一的无穷远点?，这是由复球面上的点与扩充复平面上点的一一对应性而得出的，复球面上只有一个N点，对应的?点也就只有一个.引入唯一的无穷远点?在理论上有重要的意义，?可以作为复平面的唯一的边界点.

7.怎样理解复变函数??f(z).的意义？

??u?iv,则??f(z)?u(x,y)?iv(x,y).，答设z?x?iy，所以复变函数?与复变数z

之间的关系??f(z).相当于两个实函数关系：u?u(x,y),v?v(x,y).定义一个复变函数

??f(z).相当于定义两个实二元函数u?u(x,y)和v?v(x,y)

复变函数??f(z).在几何上反映z平面上一个点集G（定义集合）到?平面上一个点集

G*（函数值集合）的一个映射.

8.一个点是不是区域？一个矩形的内部加上边界上一点是不是区域？为什么？

答一个点不是区域，因为这时点不是内点，不存在在点的一个属于E的邻域. 一个矩形的内部加上边界上一点也不是区域，这时点集不是开集.

9.复变函数??f(z)当z?z0的极限与实变函数y?f(x)当x?x0的极限有何异同？答这两个极限的定义在形式上与叙述方法上几乎十分相似，但意义却大不相同.

对极限limf(x)而言，x?x0是任意的，但只能在x0的邻域内从左，从右或时左时右地

x?x0趋向x0，而对极限limf(z)来说，z?z0的任意性更强一些，z可以从任何方向，以任

z?z0何方式趋向z0，因而条件更严格和苛刻.

其相同点是，只要z（或x）进入z0（或x0）的?邻域，它的像点f(z)（或f(x)）就进入A的?邻域.而且，它们有相同的极限运算法则. 10.函数Argz在何处连续？

答由题1已知辐角Argz的确定方式，故可知当z0?x0?iy0不是原点也不是负实轴或虚轴上的点时，与z0足够接近的点z也不是原点与负实轴上的点。这时有

?arctan(y/x);因为x0?0,，所以arctan(y0/x0)有意义，故Argz???或arctan(y/x)??.?arctan(y0/x0);?arctan(y/x);即limArgz?Argz0. limArgz?lim???z?z0z?z0x?x0arctan(arctan(y/x)??.y/x)???00?y?y0当z0为正虚轴上点z0?iy0(y0?0)时，有limArgz?2/??Argz0.当z0为负虚轴上的

z?z0点z0?iy0(y0?0)时，有limArgz??2/??Argz.当z0为负实轴上点z0?x0(x0?0)z?z0y/x)??)?lim(arctan(x?x0???;?y?0???时，由于limArgz?lim?所以limArgz不存在。又在原点

z?z0x?x0lim(arctan(z?z0y/x)??)???.y?y0?x?x0??y?0?处，辐角不确定.综述之，除原点及负实轴上点外，Argz在复平面内处处连续.

1.3典型题解

1. 若z2?z,，则有（ D ）

A.z?0 B.Re(z)?0 C. Im(z)?0 D. Re(z)Im(z)?0.

解设z?x?iy,则z?x?y?2ixy.z?z?z2,故Im(z2)?0,即xy?0.

2222222. 设z?e,则A.coti?1?z?（ B ）. 1?z???? B. icot C. tan D. itan 222221?z1?z?(z?z)ysin??y???cot. ?i.解而1?z1?z2?(z?z)1?x1?x1?cos?23.1?i3?（ ）. A.

2ei?6 B. ?2ei?6 C. ?2ei?6 D.

2ei??6

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