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第一章 教材中数学史教育功能研究

第一章 教材中数学史教育功能研究

高中必修教材中的数学史主要以阅读材料、章节引言、例习题等形式分布在教材的正文、和课后阅读部分；其呈现方式主要是文字形式，部分数学史附带数学家的图像和相关历史图片；内容涉及数学家的生平、数学概念的产生发展、历史趣题、数学故事和数学在其它领域的应用等.分析发现，教材中数学史的功能可以分为三个方面，即数学史的激励功能、认知功能和文化育人功能.

第一节 激励功能

爱因斯坦说过：兴趣是最好的老师，它永远胜过责任心.美国数学家魏尔德也认为：数学课堂上只强调数学的技术是不够的，要使学生被数学所吸引，一定要运用数学历史知识.传统的数学教材给人以逻辑严密，无懈可击的感觉，在用逻辑的方法和形式化的语言构建的知识体系中适当添加数学史，相当于在数学的火锅中添加一剂特别的作料，可以使数学教学体现出别具风格的意蕴；一则简短的数学历史典故，便能将学生带入深深的数学思考之中，一首精悍的数学诗歌便能博得学生会心一笑.“数学予知，历史予智”，讲的就是这层意思. 1.1 励志功能

数学家的趣闻轶事是学生最感兴趣的话题，其中蕴含着数学家的执着和智慧，体现着数学家奋斗过程的艰辛和获得成功后的喜悦，是激励学生学好数学的一剂良药，是帮助学生树立学习信心的良好楷模.

人教A版在阅读材料“对数的发明”中，讲到数学家纳皮尔用对数制作了0??90?每隔1?的八位三角函数表.应当说，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神.法国著名数学家、天文学家拉普拉斯评价说：对数可以缩短计算时间，在时效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍.由此可见数学家工作之艰辛和贡献之伟大.像这样的数学史在教学时顺带讲一讲，必然会增加学生的兴趣，唤起学生的共鸣.

人教A版在阅读材料“割圆术”中，讲到中国古代数学家在计算圆周率方面的伟大贡献.从理论上讲，运用“割圆术”可以把?的值计算到任意精度.刘徽一直计算到192边形，得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，化成分数为这就是著名的

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“徽率”.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得?的范围为3.1415926???3.1415927，后人曾推算，若单纯使用“割圆术”，需要计算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确的结果，这不但是当时最精密的圆周率，而且在世界上处于领先地位达1000多年.像这样的数学史不仅可以唤起学生的民族自豪感，更可以让学生感受到数学家的智慧和对数学研究的执着.

苏教版在阅读材料“尚克斯算错了吗”中，也讲到历史上关于圆周率的计算问题.英国数学家尚克斯精于数值计算，尤以计算圆周率?的值闻名，他在1853年利用公式将?值计算到608位小数，1873年又将?值计算到707位，像他这样数十年如一日的精神令人赞叹.1937年的巴黎博览会上，曾把这707位小数刻在“发现馆”的天井院内，供人瞻仰.1940年，一位英国大学生弗格森出于好奇，对尚克斯1853年算得的?值的608个数字作了统计，结果得出每个不同数字出现的次数如表1-1：

表1-1 数 字 出现次数 0 60 1 62 2 67 3 68 4 64 5 56 6 62 7 44 8 58 9 67 这一结果出乎他的意料.他原来猜想这10个数字出现的次数应大致相等.数字7的出现次数怎么会这样少呢？他想：上帝总不会对7怀有歧视吧！尚克斯的计算是否有误？于是他用当时最好的公式和最先进的计算工具（当时电子计算机尚未问世），花了1年时间算出了710位小数.结果发现尚克斯计算的?值从第528位开始出现错误.后来他和美国人伦奇合作，于1948年1月共同发表了?的808位小数值.再次统计的结果表明，数字7出现的次数并不明显少于其它数字.像这样的数学史素材，不仅有趣，更能启发学生的思考：数学家也是会犯错误的、许多数学结论是可以怀疑的、好奇心是取得任何成就的关键、一般人也可以在数学上做出突出贡献、概率知识在生活和科学研究中是多么有用！进而激发学生对概率学习的兴趣和应用概率知识解决实际问题的欲望. 1.2 激趣功能

运用数学史创设问题情境或直接引用历史上的数学名题进行教学可以激发学生的学习兴趣.对历史故事和新鲜事物的好奇是学生的天性，而这种天性往往体现在人文学科中，很难在数学课堂上展现出来，数学史的引入在人文学科和数学学科之间搭建起了一道桥梁.如苏教版在讲解案例设计“韩信点兵—孙子问题”时，花很大篇幅介绍了韩信点兵的历史背景，且叙述上是以讲故事的形式进行的，并附以历史插图，

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第一章 教材中数学史教育功能研究

加之适当的问题引导，让学生在欣赏历史故事的同时不知不觉进入数学知识的学习，这样的设计比单刀直入式的讲解更富有人文关怀，更容易被学生所接受，也更容易在学生的记忆里留下深刻印象.

在苏教版的课后习题中，有多道题目是以古算为背景出现的.如我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？题目的表现形式简洁明快，且饶有趣味，让学生在学习知识之余，感受古人的智慧和中国诗歌文化的博大精深.再如：1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”：

4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … … … … … … …

（这个方筛的奥妙在于：如果某个自然数n出现在表中，那么2n?1肯定不是质数；如果n在表中不出现，那么2n?1肯定是质数.）问题是：这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？像这样以古算为背景的题目，并不涉及多么深奥的知识，却非常有趣，为传统的习题设计模式注入了新的活力.

第二节 认知功能

吴文俊院士曾说：假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对于一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等许多历史因素都弄清楚了，我想就会对数学了解多了，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的现状及未来起到一种知道的作用[1]；数学学科的精髓在于其思想方法之深刻，而思想方法往往体现在知识的产生和发展过程中，通过数学史的引入，再现数学发展的关键步骤，让学生体验历史、逻辑和思想的统一. 2.1 有利于了解数学概念产生的历史背景

有研究者认为：如果不知道数学概念为什么出现以及以何种方式出现，想学好 ① 吴文俊.在教育部的全国高校中外数学史讲习班开学典礼上的讲话[A].中国数学史论文集（二）山东：山 东教育出版社.1986，02.

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它几乎是不可能的[1].学生只有清楚了概念产生的历史背景，才能将知识学习得更明白，记忆得更深刻，而数学史恰恰为我们提供了一个从历史的角度审视概念产生和发展的良好契机.

函数概念的产生和发展经历了漫长的历史过程，从最初的变量说到后来的对应说直至现在许多大学数学专业课中普遍采用的关系说，经历了不断的创造与否定、争论与完善的过程，学生通过阅读函数概念的发展史，加之教师的适当引导，就会对各种函数定义的局限性有一个清醒的认识，明确初中函数定义的合理性和不足，进而加深对高中数学用集合定义函数概念的理解.

高中数学教材中，指数概念的学习是先于对数的，而历史上指数的产生要远远晚于对数，学生通过学习课后阅读材料“对数的发明”，会明确引入对数运算的重要意义，认识到对数的发明之所以早于指数，是由于在当时的天文和航海等领域，涉及到许多复杂的乘除法计算，而加减法运算较简单，能不能把乘除法转化为加减法呢，于是纳皮尔经过研究，发现了可以简化运算的“对数”，无怪乎后人将对数的发现称之为延长天文学家寿命的一项发现.教材之所以先讲指数，也只是考虑到学生之前的知识结构和认知发展的需要.教学时适当引导学生阅读对数的发展史，会加深学生对指数和对数关系的理解.

教材中还安排了许多相关概念的历史发展等阅读材料，如：解析几何的发展史、向量的产生、三角学的发展、历史上的方程求解等.对相关数学史的学习可以使学生在头脑中对一些表面上看起来毫无关系的数学知识之间建立起联系，进而学得更明白，即使会占用一些课堂时间，但从学生的长远发展和素质教育的培养目标来看还是值得的.

2.2 有利于理解数学概念的本质

数学史更深层次的意义在于加深学生对数学概念本质的理解.许多学生将数学学习了很多年，到头来并不清楚所学知识的意义，当问起某一数学概念的本质是什么的时候，并不能给出满意的回答，甚至从来没有思考过这个问题，这也是数学学习中“会而不懂”现象的一种具体体现.教材中许多章节以阅读与思考的形式展现了核心概念的发展历史，其中不乏对概念本质的揭示.

欧几里得《原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义是它在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系，教材在对《原本》简单介绍的基础上，重点归 ① 张晓贵，张雪.国外数学教学中引入数学史的研究概述[J].数学教育学报.2013，08：50-54.

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