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第十一讲 向量组的秩与向量空间
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§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间
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第三节
向量组的秩
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一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足: 满足: 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关; 向量组A 线性无关; 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示; 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示; 或者满足: 或者满足: 1)向量组 向量组A 线性无关; 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关; 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关; 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关; 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.
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向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 一个向量组和它自己的极大线性无关组是等价的。 一个向量组和它自己的极大线性无关组是等价的。 2.向量组的秩 向量组的秩 向量组 A 中的一个极大无关组中所含有的向 的秩,记为R 量个数 r 称之为向量组 A 的秩,记为 A。 定理:矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 定理:矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 它的行向量组的秩。 它的行向量组的秩。 阶子式D 证:设 A=(a1,a2,…,ar),R(A)=k,并设 阶子式 k , ,并设k阶子式 ≠0,则Dk所在的 列线性无关,又由 中所有 所在的k列线性无关 又由A中所有 列线性无关, 中所有k+1阶 , 阶 子式均为零知, 中任意 中任意k+1个列向量都线性相关, 个列向量都线性相关, 子式均为零知,A中任意 个列向量都线性相关 因此D 所在的k列是 列是A的列向量组的一个极大 因此 k所在的 列是 的列向量组的一个极大
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无关组,所以列向量组的秩等于 。 无关组,所以列向量组的秩等于k。 同理可证明行向量组的秩也等于k。 同理可证明行向量组的秩也等于 。▌
... ... 定理.向量组B b ,b2 , ,bp能由向量组A a1,a2 , , :1 : am线性表示的充要条件是 R(a1,a2 , ,am ) = R(a1,a2 , ,am ,b ,b2 , ,bp ) ... ... ... 1定理:设向量组 : ,a ,…,a 可由向量组B: 定理:设向量组A:a1, 2,…, m可由向量组 : b1,b2 ,…,bn线性表示,则:RA≤RB , 线性表示, 的一个极大无关组为 证:设向量组A的一个极大无关组为 设向量组 的一个极大 A0:a1,a2,…,ar,向量组 的一个极大无关组为 0: 向量组B 的一个极大无关组为B b1,b2,…,bs,由于 与A0等价,B与B0等价,所 由于A与 等价, 与 等价,
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可由B 线性表示,由前面的定理可知, 以
, A0可由 0 线性表示,由前面的定理可知, r≤s,故RA≤RB ▌ , 推论1:等价向量组的秩相等; 推论 :等价向量组的秩相等; 推论2:设向量组B是向量组 的一个部分组,若 是向量组A的一个部分组 推论 :设向量组 是向量组 的一个部分组, 向量组B线性无关,且向量组 能由向量组 能由向量组B线性 向量组 线性无关,且向量组A能由向量组 线性 线性无关 表示,则向量组 是向量组 的一个极大无关组。 是向量组A的一个极大无关组 表示,则向量组B是向量组 的一个极大无关组。
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2 1 1 1 2 例1.设矩阵A = 1 1 2 1 4 ,求矩阵A的列向量 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 组的 一个 极大 线性 无关组 ,并 把不 属于最 大无 关组 的向 量用最 大无 关组 线性 表示 .
解:对A施行初等行变换化A为行最简矩阵,即 1 1 2 1 4 1 0 1 0 4 A : 0 1 1 1 0 : 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 知R( A) = 3,故列向量组的最大无关组中含有 3个
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4 列向量,而三个非零行的三个非零首元在1,2,列, 故a1、a2、a4为列向量组的一个极大无关组.且 a3 = a1 a2、a5 = 4a1 + 3a2 3a3
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第三节
向量空间
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一、向量空间定义对于加法及数乘两种运算封闭, 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集 为向量空间。 合 V 为向量空间。 说明: 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指 说明: 维向量的集合, 非空, 定设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V 非空,且
α ∈ V , β ∈ V , 有 α + β ∈ V ; α ∈ V , k ∈ R, 有 kα ∈ V .
二、子空间1.定义: 为向量空间V 的一个非空子集, 1.定义:设 S 为向量空间 的一个非空子集,如果 定义 S 对于 中的加法运算与数乘运算也能构成向量空 对于V 称为V 的子空间。 间,则S 称为 的子空间。
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是一个向量空间。 例1. 3维向量的全体 R 3 是一个向量空间。 维向量的全体 n维向量的全体 R n,也是一个向量空间。 维向量的全体 也是一个向量空间。 为两个已知的n维向量 例2. 设 a,b为两个已知的 维向量,判断集合 , 为两个已知的 维向量,
V = { x = λ a + µ b λ , µ ∈ R} 是否是向量空间? 是否是向量空间?2.生成子空间 2.生成子空间 给定V 给定 中一组向量 a1 , a2 ,…,am,那么它的一切 可能的线性组合显然也构成子空间, 可能的线性组合显然也构成子空间,把这样的子 所生成的子空间, 空间就称为由向量 a1,a2,…,am 所生成的子空间, 记作: 记作:L(a1,a2,…,am)
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维数、 三、维数、基与坐标1.定义:在向量空间V 1.定义:在向量空间 中,如果存在 n 个元素 定义 a
1,a2,…,an满足: 满足: 1)a1,a2,…,an线性无关; 线性无关; 2)V 中任一元素 a 总可由 1,a2,…,an线性表示, 总可由a 线性表示, 那么, 就称为向量空间V 的一个基, 那么, a1,a2,…,an就称为向量空间 的一个基, 称为向量空间V 的维数. 基中元素的个数 n 称为向量空间 的维数 维向量空间, 维数为 n 的向量空间称为 n 维向量空间,记 作Vn。
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